这个问题是在尽可能通用的「子代数」定义下提出的，所以会涉及泛代数和范畴论的视角哦～

给定代数$A$，证明由子集$S\subseteq A$生成的$\mathcal{P}$子代数等于所有包含$S$的$\mathcal{P}$子代数的交集。

好啦，咱们来一步步梳理这个证明：

首先明确几个核心概念：

• $\mathcal{P}$子代数：指的是对$\mathcal{P}$中所有运算都封闭的$A$的非空子集（毕竟是代数的子结构，运算封闭是基本要求嘛）。
• 由$S$生成的$\mathcal{P}$子代数$\langle S \rangle_\mathcal{P}$：它的本质是包含$S$的最小$\mathcal{P}$子代数——简单说就是所有包含$S$的$\mathcal{P}$子代数里，元素最少的那个。

我们要证明的等式是：$\langle S \rangle_\mathcal{P} = \bigcap { B \mid B \text{是} A \text{的}\mathcal{P}\text{子代数，且} S \subseteq B }$

第一步：证明左边包含于右边 #

$\langle S \rangle_\mathcal{P}$本身就是一个包含$S$的$\mathcal{P}$子代数（毕竟它是由$S$生成的，肯定满足运算封闭性，也包含$S$），所以它属于右边交集里的那些子代数集合。而交集是所有这些子代数的公共元素集合，既然$\langle S \rangle_\mathcal{P}$是其中一员，那它的所有元素自然都在这个交集中，也就是$\langle S \rangle_\mathcal{P} \subseteq \bigcap { B \mid B \text{是} A \text{的}\mathcal{P}\text{子代数，且} S \subseteq B }$。

第二步：证明右边包含于左边 #

$\langle S \rangle_\mathcal{P}$是包含$S$的$\mathcal{P}$子代数，所以它是右边交集里的一个「成员」。那所有包含$S$的子代数的交集，必然是$\langle S \rangle_\mathcal{P}$的子集——因为交集中的元素必须属于每一个包含$S$的子代数，而$\langle S \rangle_\mathcal{P}$就是其中一个，所以交集中的元素肯定都在$\langle S \rangle_\mathcal{P}$里，也就是$\bigcap { B \mid B \text{是} A \text{的}\mathcal{P}\text{子代数，且} S \subseteq B } \subseteq \langle S \rangle_\mathcal{P}$。

另外，咱们得确认一下这个交集本身确实是$\mathcal{P}$子代数，不然等式就没意义啦：

• 非空性：所有包含$S$的子代数都包含$S$，如果$S$非空，交集肯定非空；就算$S$是空集，原代数$A$本身也是$\mathcal{P}$子代数，所以交集也不会是空的。
• 运算封闭性：任取$\mathcal{P}$中的$n$元运算$f$，再取交集中的$n$个元素$a_1,a_2,...,a_n$，这些元素在每一个包含$S$的$\mathcal{P}$子代数$B$里，而每个$B$都对$f$封闭，所以$f(a_1,...,a_n)$在每个$B$里，自然也在交集中，满足封闭性。

这样两边互相包含，就证明了等式成立啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shaun