问题背景 #

给定积分方程：
$$\exp(2x) = \int_0^x f(x-t)\cos t , \mathrm{d}t,$$
我尝试求解$f(x)$，但将结果代回原方程验证时发现不匹配，希望排查求解过程中的错误并得到正确解法。

我的求解步骤 #

1. 换元：令$u = x - t$，将原积分转化为卷积形式：
   $$\exp(2x) = \int_0^x f(u)\cos (x-u) , \mathrm{d}u. \tag{1}\label{eq1}$$
2. 对两边二次求导后得到：
   $$4\exp(2x) = f'(x) - \int_0^x f(u)\cos (x-u) , \mathrm{d}u. \tag{2}$$
3. 用$\eqref{eq1}$替换右侧的积分项，得到：
   $$4\exp(2x) = f'(x) - \exp(x).$$
4. 由此解得：
   $$f(x) = \frac{5}{2}\exp(2x) + C.$$

验证时的异常 #

将上述结果代回原积分验证时，发现计算结果与原方程左侧的$\exp(2x)$不匹配，说明求解过程存在错误。

错误排查与正确解法 #

1. 核心错误点分析 #

你的求解过程存在两个关键错误：

（1）替换积分项时的笔误

在步骤3中，你错误地将$\eqref{eq1}$中的$\exp(2x)$写成了$\exp(x)$，正确的替换应该是：
$$4\exp(2x) = f'(x) - \exp(2x),$$
移项后得到：
$$f'(x) = 5\exp(2x).$$
这一步修正后，积分得到的通解为：
$$f(x) = \frac{5}{2}\exp(2x) + C.$$

（2）未考虑初始条件与广义函数的必要性

即使修正了笔误，得到的普通函数解代回原方程仍不匹配，这是因为原方程在$x=0$处存在跳变：当$x=0$时，左侧$\exp(0)=1$，而右侧积分$\int_0^0 ...\mathrm{d}t=0$，普通函数无法满足这种跳变，必须引入狄拉克δ函数（广义函数）才能完整满足原方程。

2. 正确解法（含广义函数） #

我们可以通过拉普拉斯变换法（卷积定理）直接求解，结果更准确：
原方程是卷积形式：$\exp(2x) = f(x) * \cos(x)$（$*$表示卷积），根据拉普拉斯变换的卷积定理：
$$\mathcal{L}{\exp(2x)}(s) = \mathcal{L}{f(x)}(s) \cdot \mathcal{L}{\cos(x)}(s).$$

计算各函数的拉普拉斯变换：

• $\mathcal{L}{\exp(2x)} = \frac{1}{s-2}$
• $\mathcal{L}{\cos(x)} = \frac{s}{s^2+1}$

因此：
$$\mathcal{L}{f(x)}(s) = \frac{1}{s-2} \div \frac{s}{s^2+1} = \frac{s^2+1}{s(s-2)}.$$

对分式进行部分分式分解：
$$\frac{s^2+1}{s(s-2)} = 1 + \frac{2s+1}{s(s-2)} = 1 - \frac{1}{2s} + \frac{5}{2(s-2)}.$$

对分解结果进行拉普拉斯逆变换，得到完整解（含广义函数）：
$$f(x) = \delta(x) + \frac{5}{2}\exp(2x) - \frac{1}{2},$$
其中$\delta(x)$是狄拉克δ函数，$\frac{5}{2}\exp(2x)-\frac{1}{2}$是$x>0$时的普通函数部分。

3. 验证正确解 #

将完整解代回原积分：
$$\begin{aligned}
\int_0^x f(x-t)\cos t , \mathrm{d}t &= \int_0^x \left[\delta(x-t) + \frac{5}{2}\exp(2(x-t)) - \frac{1}{2}\right]\cos t , \mathrm{d}t \
&= \cos x + \left(\exp(2x) - \cos x\right) \
&= \exp(2x),
\end{aligned}$$
完全匹配原方程左侧。

4. 仅考虑普通函数的近似解（x>0） #

若仅考虑$x>0$的普通函数解，我们可以通过初始条件确定常数$C$：
对$\eqref{eq1}$一次求导得：
$$2\exp(2x) = f(x) - \int_0^x f(u)\sin(x-u)\mathrm{d}t,$$
令$x=0$，得$2 = f(0)$，代入通解$\frac{5}{2}\exp(0)+C=2$，解得$C=-\frac{1}{2}$，即：
$$f(x) = \frac{5}{2}\exp(2x) - \frac{1}{2} \quad (x>0).$$
该解在$x>0$时满足微分方程，但代回原积分会多出$-\cos x$项，需结合δ函数才能完全满足原方程。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Windy_D