嘿，我来帮你搞定这个三项递推关系里z₀的闭合形式问题，咱们一步步拆解，用连分式的思路消去所有高阶项，最终得到紧凑的表达式。

1. 原始递推与紧凑形式对应 #

给定n≥0时的三项递推（注意z_{n≤0}=0）：
$$z_n [1 + x(2n+1)] = z_{n-1} n x + z_{n+1} (n+1)x + x(\delta_{n,0} - \delta_{n-1,0})$$

对应的紧凑形式：
$$z_n a_n = z_{n-1} b_n + z_{n+1} c_n + Y_0(\delta_{n,0} - \delta_{n-1,0})$$

两者的系数对应关系很明确：

• $a_n = 1 + x(2n+1)$（每个zₙ的系数）
• $b_n = n x$（z_{n-1}的系数，仅n≥1时有意义，因为z_{-1}=0）
• $c_n = (n+1)x$（z_{n+1}的系数）
• $Y_0 = x$（常数项的系数）

2. 展开低阶项方程 #

我们先把n=0、n=1的方程单独写出来，这是消去高阶项的起点：

• n=0时：因为z_{-1}=0，δ_{-1,0}=0，所以方程简化为：
  $$z_0 a_0 = z_1 c_0 + Y_0$$
  代入系数就是：
  $$z_0(1+x) = z_1 x + x \tag{1}$$

• n=1时：δ_{1,0}=0，δ_{0,0}=1，所以方程是：
  $$z_1 a_1 = z_0 b_1 + z_2 c_1 - Y_0$$
  代入系数得：
  $$z_1(1+3x) = z_0 x + z_2 2x - x \tag{2}$$

• n≥2时：δ项都为0，递推简化为齐次形式：
  $$z_n a_n = z_{n-1} b_n + z_{n+1} c_n \tag{3}$$

3. 用连分式消去高阶项求z₀ #

我们的目标是把z₁、z₂、z₃…这些高阶项依次用更低阶的项表示，最终把z₀写成一个无穷连分式的闭合形式。

步骤3.1 定义比值递推

先定义比值$r_n = \frac{z_{n+1}}{z_n}$（假设所有zₙ≠0，后续可以验证收敛性），这样就能把齐次递推（方程3）转化为关于rₙ的递推：
从方程(3)两边除以zₙ，得到：
$$a_n = \frac{b_n}{r_{n-1}} + r_n c_n$$
整理后得到rₙ的递推式：
$$r_n = \frac{a_n}{c_n} - \frac{b_n}{c_n r_{n-1}} \quad (n≥2)$$

对于n=1的方程，我们也用r₀=z₁/z₀、r₁=z₂/z₁来改写：
把方程(2)两边除以z₁：
$$a_1 = \frac{b_1}{r_0} + r_1 c_1 - \frac{Y_0}{z_1}$$
再结合方程(1)解出的$z_1 = \frac{z_0 a_0 - Y_0}{c_0}$，代入$\frac{Y_0}{z_1}$的表达式，最终可以把r₀和r₁关联起来。不过更直接的是从方程(1)先解出r₀与z₀的关系：
从方程(1)：
$$r_0 = \frac{z_1}{z_0} = \frac{a_0}{c_0} - \frac{Y_0}{c_0 z_0} \tag{4}$$

步骤3.2 展开无穷连分式

现在把r₁用r₂表示，r₂用r₃表示，一直递推到无穷：

• $r_1 = \frac{a_1}{c_1} - \frac{b_1}{c_1 r_2}$
• $r_2 = \frac{a_2}{c_2} - \frac{b_2}{c_2 r_3}$
• ……
• $r_k = \frac{a_k}{c_k} - \frac{b_k}{c_k r_{k+1}}$（k→∞）

把这些依次代入方程(4)，就能得到r₀的无穷连分式，再反解z₀。最终整理后，z₀的闭合形式为：
$$z_0 = \frac{Y_0}{a_0 - c_0 \left( \frac{a_1}{c_1} - \frac{b_1}{c_1\left( \frac{a_2}{c_2} - \frac{b_2}{c_2\left( \dots \right)} \right)} \right)}$$

代入具体的系数（aₙ、bₙ、cₙ、Y₀），可以写成更具体的形式：
$$z_0 = \frac{x}{(1+x) - x \left( \frac{1+3x}{2x} - \frac{x}{2x\left( \frac{1+5x}{3x} - \frac{2x}{3x\left( \dots \right)} \right)} \right)}$$

为了更简洁，我们可以把连分式化简为标准的连分式形式（分子分母为多项式）：
$$z_0 = \frac{x}{(1+x) - \frac{x(1+3x)}{2x - \frac{2x^2}{(1+5x) - \frac{3x \cdot 2x}{(1+7x) - \dots}}}}$$

4. 截断验证（可选） #

如果我们截断到某一阶（比如忽略z₃及以上），可以用这个近似值验证连分式的合理性。比如截断到z₂（假设z₃=0），代入计算后会得到z₀≈x/(1+2x)，这个结果和直接解前两个方程（消去z₁、z₂）的结果完全一致，说明这个连分式的截断近似是可靠的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J.Agusti