你好呀，我最近碰到了一个关于带源项热方程的正则性估计问题，想请教各位有没有可行的证明思路。具体问题如下：

考虑函数$u$满足如下热方程：
$$
\begin{cases}
\partial_t u = \Delta u + f & \text{in } \mathbb R^2 \times \mathbb R^+, \
u(\cdot, 0) = 0 & \text{in } \mathbb R^2,
\end{cases}
$$
其中源项$f \in L^\infty(\mathbb R^2 \times \mathbb R^+)$。我想搞清楚，对于任意$R > 0$，能不能证明如下的内部梯度估计：
$$|\nabla u|{L^\infty(Q{R/2}(t_0, x_0))} \le \frac{1}{R}\left(|f|{L^\infty(Q{R}(t_0, x_0))} + |u|{L^\infty(Q{R}(t_0, x_0))}\right),$$
这里的圆柱区域$Q_R(t_0, x_0)$定义为：
$$Q_R(t_0, x_0) = {(t,x) _| |x - x_0| \le R, ~ t_0 - R^2 \le t \le t_0}.$$

我知道这类导数的内部估计在泊松问题（也就是稳态拉普拉斯方程带源项的情况）里是相当经典的，但到了热方程这种抛物型方程，我不确定该怎么推导这个估计。有没有熟悉抛物型方程正则性估计的朋友能给点思路或者具体的证明方法呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Falcon