假设 (a,b,c) 是非退化三角形的三边，该三角形的外接圆半径为 (R)，且满足 (x>2R)。我想请教大家：边长为 (\frac{1}{a+x},\frac{1}{b+x},\frac{1}{c+x}) 的三角形是否一定存在？

更具体地说，我通过实验数据得到了如下不等式：
$$
\frac{x-2R}{x^2+2Rx} < \frac{1}{a + x} + \frac{1}{b + x} - \frac{1}{c + x} < \frac{1}{x}. \tag 1
$$

请问这个不等式(1)能否被严格证明？另外，在尝试证明上述不等式的过程中，我已经成功推导出一个形式相似的不等式：
$$
0 \le \frac{a}{a+x} + \frac{b}{b+x} - \frac{c}{c+x} \le \frac{4}{x+2} \tag 2
$$
这个不等式对所有 (x>0) 都成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nilotpal Kanti Sinha