嘿，这个恒等式看起来真的很巧妙！我来给你分享两个直观的证明思路，都是不用复杂公式就能理解的那种：

方法一：满射函数计数（容斥原理） #

我们先把恒等式稍微变形一下，把所有项移到左边：
$$(n+1)^n - \binom{n+1}{1}n^n + \binom{n+1}{2}(n-1)^n - \cdots + (-1)^{{n+1}\binom{n+1}{n}1}n + (-1)^{{n+2}\binom{n+1}{n+1}0}n = 0$$
最后那项$(-1)^{{n+2}\binom{n+1}{n+1}0}n$其实是0（因为n≥1时0的n次方是0），所以可以忽略，核心是左边的总和为0。

那这个总和是什么呢？其实它就是容斥原理计算从n个元素到n+1个元素的满射函数数量的公式！

我们知道，从n个元素到m个元素的满射函数数量，用容斥原理表示为：
$$\sum_{k=0}^m (-1)^{k\binom{m}{k}(m-k)}n$$
这个公式的逻辑是：先算所有函数的总数$m^n$，然后减去至少漏掉1个元素的函数数，加回至少漏掉2个元素的函数数，以此类推（容斥的交替加减）。

现在令m = n+1，那我们要算的是从n个元素到n+1个元素的满射函数数量——这显然是0啊！因为你只有n个元素，要映射到n+1个不同的目标元素，根本不可能每个目标元素都被映射到，满射不存在。

所以代入m=n+1后，这个满射数量公式就变成：
$$\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k\binom{n+1}{k}(n+1 -k)^n = 0$$
把k=0的项$(n+1)^n$移到右边，就得到了：
$$(n+1)^n = \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k+1}\binom{n+1}{k}(n+1 -k)^n$$
最后把变量替换一下，令t = n+1 -k：当k=1时t=n，k=2时t=n-1，...，k=n时t=1，代入后就正好是你要证明的恒等式啦！

方法二：有限差分视角 #

另一个思路是用有限差分算子，定义差分算子$\Delta f(k) = f(k+1) - f(k)$，n阶差分的公式是：
$$\Delta^n f(k) = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(k+i)$$

我们考虑函数$f(k) = k^n$，那我们计算它的(n+1)阶差分在k=0处的值：
$$\Delta^{n+1}f(0) = \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^{n+1 -i}\binom{n+1}{i}f(i) = \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^{n+1 -i}\binom{n+1}{i}i^n$$

而对于次数不超过n的多项式，它的(n+1)阶差分一定是0——因为每做一次差分，多项式的次数就降1次，n次多项式做n次差分后变成常数，再做一次差分就是0了。$f(k)=k^{n$是n次多项式，所以$\Delta}{n+1}f(0)=0$。

把这个等式展开：
$$\sum_{i=0}^{n+1} (-1)^{n+1 -i}\binom{n+1}{i}i^n = 0$$
调整一下符号，把i=0的项（也就是$(-1)^{{n+1}\binom{n+1}{0}0}n=0$）去掉，然后把式子变形：
$$\sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{n+1 -i}\binom{n+1}{i}i^n = 0$$
两边乘以$(-1)^{n+1}$，得到：
$$\sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{{-i}\binom{n+1}{i}i}n = 0$$
因为$(-1)^{-i}=(-1)i$，所以：
$$\sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i\binom{n+1}{i}i}n = 0$$
再把i换成n+1 - t（t从1到n），就可以得到你要的恒等式形式，和方法一的结果一致。

两种方法都能得到结论，是不是挺清晰的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者sku