嘿，这个线性代数的问题我太熟悉了！咱们一步步拆解来证明，保证清晰易懂～

首先先明确题目背景：这是来自Kostrykin 2004年《Introduction to Algebra, Part 1》第三章第三节第4题的习题：

给定一个n元齐次线性方程组，包含n-1个方程：
$$
\begin{matrix}
a_{11} x_1 + \ldots + a_{1n} x_n = 0 \
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \
a_{n-1,1}x_1 + \ldots + a_{n-1,n}x_n = 0
\end{matrix}
$$
已知该方程组的系数矩阵秩为 $r = n - 1$，需要证明方程组的解集中包含如下构造的列向量：
$$ X^0 = [D_1, -D_2, D_3, \ldots, (-1)^{n-1} D_n] $$
其中 $D_i$ 是从系数矩阵中删除第i列后，得到的(n-1)×(n-1)子矩阵的行列式（这部分原问题未完整表述，是该构造的标准定义）。

证明步骤： #

• 第一步：明确核心思路
  要证明 $X^0$ 是方程组的解，只需要把它代入每个方程验证结果为0即可。另外，由于系数矩阵秩为n-1，方程组的解空间维数为 $n - (n-1) = 1$，只要 $X^0$ 是非零向量，它就是解空间的一组基，自然属于解集。

• 第二步：代入方程验证
  取任意第k个方程（$k=1,2,...,n-1$），代入 $X^0$ 的分量后得到：
  $$ a_{k1}D_1 - a_{k2}D_2 + a_{k3}D_3 + \ldots + (-1)^{n-1}a_{kn}D_n $$
  我们可以把这个式子看作一个n阶行列式的展开式：构造一个n×n矩阵，第一行是第k个方程的系数 $[a_{k1},a_{k2},...,a_{kn}]$，剩下的n-1行就是原方程组的系数矩阵A的n-1行。

  这个n阶矩阵存在两行完全相同（第一行与原矩阵A的第k行），根据行列式性质，两行相同的矩阵行列式值为0。而按第一行展开这个行列式，得到的就是上面的式子，因此该式的值为0，说明 $X^0$ 满足第k个方程。

  由于k是任意的，$X^0$ 满足所有n-1个方程，是方程组的解。

• 第三步：确认X⁰是非零向量
  因为系数矩阵A的秩为n-1，说明A中至少存在一个非零的(n-1)阶子式，也就是至少有一个 $D_i \neq 0$，所以 $X^0$ 不是零向量，确实是解集中的有效非零解。

这样就完成了证明啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者twiggy_ramirez