咱们先来明确问题：要找出所有自然数$n$，使得$(n+1)(n+12)$能写成4个连续自然数的乘积。我来一步步理清楚解题思路：

首先，有个很关键的结论——4个连续自然数的乘积加1，结果一定是个完全平方数。不信的话可以推导一下：假设4个连续数是$t, t+1, t+2, t+3$，它们的乘积可以整理成：
$$t(t+1)(t+2)(t+3) = (t^2+3t)(t2+3t+2) = (t^2+3t+1)2 - 1$$
你看，确实，乘积加1就是$(t^2+3t+1)$的平方，是个完美的完全平方数。

回到题目，既然$(n+1)(n+12)$是4个连续数的乘积，那它加1肯定也是完全平方数，所以我们可以写出：
$$(n+1)(n+12) + 1 = k^2 \quad (k \text{ 是自然数})$$

把左边展开整理一下：
$$n^2 + 13n + 13 = k^2$$
移项后用平方差公式分解：
$$k^2 - n^2 = 13(n+1) \implies (k-n)(k+n) = 13(n+1)$$

这里要注意一个坑：刚才的结论是“4个连续数乘积加1是平方数”，但反过来“平方数减1不一定是4个连续数的乘积”，所以后面还要验证解是否真的符合原问题。

换个更稳妥的思路，直接从4个连续数的乘积入手，设这4个数为$t, t+1, t+2, t+3$（$t$是自然数），那么：
$$(n+1)(n+12) = t(t+1)(t+2)(t+3)$$

结合之前的变形，右边等于$(t^2+3t+1)2 - 1$，所以：
$$n^2 + 13n + 13 = (t^2+3t+1)2$$

把这个式子看成关于$n$的一元二次方程，自然数$n$存在的前提是判别式为完全平方数：
$$\Delta = 13^2 - 4 \times (13 - (t^2+3t+1)2) = 117 + 4(t^2+3t+1)2$$

设$\Delta = m^2$（$m$是自然数），这又是一个平方差形式：
$$m^2 - [2(t^2+3t+1)]2 = 117 \implies (m - 2(t^2+3t+1))(m + 2(t^2+3t+1)) = 117$$

接下来找出117的所有正因数对（因为两个括号都是正数，且第二个比第一个大）：(1,117)、(3,39)、(9,13)，逐个分析：

• 因数对(1,117)：
  两式相减得$4(t^{2+3t+1)=116$，化简后$t}2+3t-28=0$，解这个方程得正根$t=4$（负根舍去）。
  此时4个连续数是4、5、6、7，乘积是$4×5×6×7=840$，代入$(n+1)(n+12)=840$，解得$n=23$（负根舍去）。验证一下：$(23+1)(23+12)=24×35=840$，完全符合条件。

• 因数对(3,39)：
  相减得$4(t^{2+3t+1)=36$，化简后$t}2+3t-8=0$，判别式是41，不是完全平方数，没有自然数解。

• 因数对(9,13)：
  相减得$4(t^{2+3t+1)=4$，化简后$t}2+3t=0$，解得$t=0$或$t=-3$，都不是正自然数，舍去。

另外，负因数对会得到负数的$n$，不符合自然数要求，直接忽略。

之前用平方差分解得到的$n=4$，代入后$(4+1)(4+12)=80$，找不到4个连续自然数的乘积等于80，所以这个解是“假解”，要舍去。

综上，唯一符合条件的自然数$n$是23。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dante Ricciagli