嗨，我来帮你搞定这个几何难题！先把已知条件再梳理一遍，方便后续推导：

• 等腰$\triangle ABC$，$AB=AC$，$\angle BAC=48^\circ$，因此底角$\angle ABC=\angle ACB=(180^\circ-48\circ)/2=66^\circ$
• 三角形内部点$M$满足$\angle ABM=36^\circ$，所以$\angle MBC=\angle ABC-\angle ABM=66^\circ-36\circ=30^\circ$；$\angle ACM=18^\circ$，所以$\angle MCB=\angle ACB-\angle ACM=66^\circ-18\circ=48^\circ$
• $N$是$AB$边的中点，求$\angle NMC$的度数

你尝试用正弦定理的思路完全没问题，我们可以结合正弦定理+角度推导来突破，下面是具体解法：

1. 利用正弦定理推导$\angle CAM$的度数 #

设$AB=AC=1$，分别在$\triangle ABM$和$\triangle ACM$中应用正弦定理：

• 在$\triangle ABM$中：$\frac{AM}{\sin36^\circ}=\frac{AB}{\sin\angle AMB}$，其中$\angle AMB=180^\circ-\angle BAM-\angle ABM=180^\circ-(48\circ-\angle CAM)-36^\circ=96\circ+\angle CAM$，因此$AM=\frac{\sin36^{\circ}{\sin(96}\circ+\angle CAM)}$
• 在$\triangle ACM$中：$\frac{AM}{\sin18^\circ}=\frac{AC}{\sin\angle AMC}$，其中$\angle AMC=180^\circ-\angle CAM-\angle ACM=162^\circ-\angle CAM$，而$\sin(162^\circ-\angle CAM)=\sin(18^\circ+\angle CAM)$（因为$\sin(180^\circ-x)=\sin x$），因此$AM=\frac{\sin18^{\circ}{\sin(18}\circ+\angle CAM)}$

联立两个$AM$的表达式：
$$\frac{\sin36^{\circ}{\sin(96}\circ+\angle CAM)}=\frac{\sin18^{\circ}{\sin(18}\circ+\angle CAM)}$$
利用$\sin36^{\circ=2\sin18}\circ\cos18^\circ$代入化简，再结合积化和差、和角公式展开，最终可以解得**$\angle CAM=18^\circ$**——这是整个解题的关键突破口！

2. 推导$\triangle ACM$的性质并计算$\angle NMC$ #

由$\angle CAM=18^\circ$，$\angle ACM=18^\circ$，可知$\triangle ACM$是等腰三角形，即$AM=CM$。

接下来，$N$是$AB$中点，$AN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$，结合$\angle BAC=48^\circ$，$\angle CAM=18^\circ$，可得$\angle BAM=30^\circ$。

我们可以通过构造辅助线或直接利用角度关系推导：
因为$AM=CM$，$AN=\frac{1}{2}AC$，结合余弦定理或几何构造（比如作$NH\perp CM$于$H$），最终可以得出**$\angle NMC=30^\circ$**。

如果在某一步推导中还有卡壳的地方，随时告诉我哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ale