你碰到的这个问题很典型——这个方程其实是超越方程，没办法用初等函数写出精确的解析解，只能通过数值方法来逼近它的近似解。先帮你理清楚为什么你觉得恒等变换“没用”，再一步步教你怎么算出具体数值~

首先咱们可以把$\cot(x/2)$用更基础的三角函数展开，根据半角公式：
$$\cot(x/2) = \frac{1+\cos x}{\sin x}$$
原方程可以转化为：
$$x = \frac{1+\cos x}{\sin x}$$
整理后是$x\sin x - \cos x = 1$，形式上更简洁，但本质还是超越方程——变量$x$同时出现在三角函数内部和外部，没法通过初等代数操作把$x$单独解出来，这就是你觉得“恒等变换没用”的核心原因。

那怎么得到具体数值呢？最常用的是牛顿-拉夫逊迭代法，收敛速度快，步骤也清晰：

1. 定义目标函数：$f(x) = x - \cot(x/2)$，我们要找的就是$f(x)=0$的根；
2. 求导得到迭代所需的导函数：$f'(x) = 1 + \frac{1}{2}\csc^{2(x/2)$（推导：$\cot(x/2)$的导数是$-\frac{1}{2}\csc}2(x/2)$，所以$f'(x)=1 - (-\frac{1}{2}\csc^2(x/2))$）；
3. 确定初始值范围：试算几个点，$x=1$时$f(1)≈-0.83$，$x=2$时$f(2)≈1.36$，说明根在$(1,2)$之间，选$x_0=1.5$作为初始值；
4. 代入迭代公式$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，一步步计算：
   • 第一次迭代：$x_1 = 1.5 - \frac{1.5 - \cot(0.75)}{1 + 0.5\csc^2(0.75)}≈1.5 - \frac{0.646}{2.08}≈1.189$
   • 第二次迭代：$x_2 = 1.189 - \frac{1.189 - \cot(0.5945)}{1 + 0.5\csc^2(0.5945)}≈1.189 + \frac{0.181}{2.59}≈1.259$
   • 第三次迭代：$x_3 = 1.259 - \frac{1.259 - \cot(0.6295)}{1 + 0.5\csc^2(0.6295)}≈1.259 - \frac{0.029}{2.435}≈1.247$
   • 第四次迭代：$x_4 = 1.247 - \frac{1.247 - \cot(0.6235)}{1 + 0.5\csc^2(0.6235)}≈1.247 - \frac{-0.001}{2.41}≈1.247$

到这一步已经收敛得非常好了，所以方程的近似解是$x≈1.247$弧度（换算成角度大概是71.5度）。

如果觉得求导麻烦，也可以用二分法：不断缩小根所在的区间，比如已知根在$(1,2)$，取中点1.5，发现$f(1.5)$为正，就把区间缩小到$(1,1.5)$；再取中点1.25，$f(1.25)$为正，区间缩小到$(1,1.25)$；继续重复这个过程，每次把区间减半，多算几次也能得到近似解，只是收敛速度比牛顿法慢一些。

总结一下：这类超越方程没有初等解析解，数值方法是唯一可行的路径，你用Desmos画图找根的思路其实也是数值方法的一种可视化体现哦~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Roost1513