嘿，我来一步步给你拆解这个微分方程的解法，咱们用特解+齐次通解的思路来搞定它，这也是Khan Academy里Sal用到的方法哦~

首先，咱们先把原方程整理成一阶线性微分方程的标准形式：
$y' - 3y = -2x - 5$

第一步：找方程的一个线性特解 #

因为方程右边是关于x的一次多项式，所以咱们可以假设特解是一个线性函数：$y_p = mx + b$（m和b是待求的常数）

把$y_p$代入原方程：

• 先算$y_p' = m$
• 代入$y' = -2x + 3y -5$，得到：
  $m = -2x + 3(mx + b) - 5$

接下来把右边的式子整理成x的多项式形式：
$m = (3m - 2)x + (3b - 5)$

因为这个等式对所有x都成立，所以等式两边x的系数和常数项必须分别相等，这样就能得到两个方程：

• x的系数：$3m - 2 = 0$（左边x的系数是0，右边是3m-2，两者必须相等）
• 常数项：$3b - 5 = m$（左边常数项是m，右边是3b-5，两者必须相等）

解这两个方程：

• 从第一个方程$3m -2=0$，轻松算出$m = \frac{2}{3}$
• 把$m = \frac{2}{3}$代入第二个方程：$3b -5 = \frac{2}{3}$，移项得$3b = 5 + \frac{2}{3} = \frac{17}{3}$，所以$b = \frac{17}{9}$

这样咱们就得到了特解：$y_p = \frac{2}{3}x + \frac{17}{9}$，不过这只是方程的一个解，完整的解还得加上齐次方程的通解。

第二步：求齐次方程的通解 #

原方程对应的齐次方程是把右边的非齐次项去掉，也就是$y' - 3y = 0$，这个方程很好解：

• 分离变量得$\frac{dy}{y} = 3dx$
• 两边积分：$\ln|y| = 3x + C_1$
• 整理后得到齐次通解：$y_h = Ce^{3x}$，其中C是任意常数（$C = \pm e^{C_1}$）

第三步：写出完整的通解 #

一阶线性非齐次微分方程的通解是特解+齐次通解，所以最终的完整解是：
$y = \frac{2}{3}x + \frac{17}{9} + Ce^{3x}$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Trig