嘿，关于这个函数的可逆性问题，其实真不用一步步繁琐地单独证明单射和满射，有两种超简洁的思路，任挑一种都能快速搞定：

方法一：单调性+连续性+介值定理 #

先把函数变形一下，看着更清爽：$f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}$。

• 第一步：证严格单调（直接推单射）
  对$f(x)$求导：$f'(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2x^{2}$。在定义域$(0,\infty)$里，$x}2>0$，所以$f'(x)$恒大于0，这就说明$f(x)$在整个定义域上是严格单调递增的。严格单调的函数必然是单射——毕竟如果两个不同的自变量$x_1\neq x_2$，对应的函数值肯定一增一减，不可能相等。
• 第二步：结合连续性证满射
  $f(x)$在$(0,\infty)$上是连续的（分式分母不为0，分子是多项式，整体连续没毛病）。再看极限：
  • 当$x\to0^+$时，$\frac{x}{2}\to0$，$-\frac{1}{2x}\to-\infty$，所以$f(x)\to-\infty$；
  • 当$x\to+\infty$时，$\frac{x}{2}\to+\infty$，$-\frac{1}{2x}\to0$，所以$f(x)\to+\infty$。
    根据介值定理，对于任意实数$y\in\mathbb{R}$，必然存在某个$x\in(0,\infty)$使得$f(x)=y$，这就说明$f(x)$的值域是整个$\mathbb{R}$，也就是满射。

单射+满射=双射，双射函数必然可逆，搞定！

方法二：直接构造反函数 #

既然要证可逆，那直接把反函数求出来不就一目了然了？
假设$y=f(x)=\frac{x^2-1}{2x}$，整理成关于$x$的方程：
$$x^2 - 2yx - 1 = 0$$
这是个二次方程，用求根公式解：
$$x=\frac{2y\pm\sqrt{(2y)^2 + 4}}{2}=y\pm\sqrt{y^2+1}$$
因为$x\in(0,\infty)$，咱们看两个根：$\sqrt{y^{2+1}>|y|$，所以$y-\sqrt{y}2+1}$肯定是负数（比如y正的时候，$\sqrt{y²+1}>y$，相减得负；y负的时候，$\sqrt{y²+1}>-y$，y减它就是负数加负数，还是负的），只有$x=y+\sqrt{y^2+1}$是正的。

这就意味着，对任意$y\in\mathbb{R}$，都有唯一的正实数$x$对应，反函数直接构造出来了：$f^{{-1}(y)=y+\sqrt{y}2+1}$。反函数存在，原函数自然可逆，这个方法甚至更直接！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者selector