咱们来解决这个问题：给定正整数$n$，用$S(n)$表示$n$的十进制数位之和，找出所有满足等式$n + S(n) + S(S(n)) = 1000$的正整数$n$。

第一步：缩小$n$的范围 #

首先，数位和$S(n)$有个关键性质：对于$k$位数$n$，$S(n) \leq 9k$。咱们先判断$n$的位数：

• 如果$n$是四位数，最小的四位数是1000，代入等式得$1000 + 1 + 1 = 1002 > 1000$，更大的四位数只会让左边更大，所以$n$不可能是四位数。
• 如果$n$是三位数，最大的数位和$S(n)$是999的数位和27，而$S(S(n))$最大是27的数位和9，所以$S(n)+S(S(n)) \leq 27+9=36$。由此可得$n \geq 1000 - 36 = 964$。

所以$n$的范围锁定在964到999之间的三位数。

第二步：逐个范围验证 #

接下来咱们把$n$写成$900+10a+b$（$a$是十位数字，$b$是个位数字），代入等式展开：
$$
(900+10a+b) + (9+a+b) + S(9+a+b) = 1000
$$
化简后得到：
$$
11a + 2b + S(9+a+b) = 91
$$

咱们分情况讨论十位数字$a$的可能值：

• 当$a=9$时：$11*9=99$，$99 + 2b + S(18+b) \geq 99 > 91$，显然不可能满足等式，无解。
• 当$a=8$时：$11*8=88$，需要$2b + S(17+b)=3$。$2b$是非负偶数，$S(17+b)$最小是8（当$b=0$时，17的数位和是8），$8>3$，无解。
• 当$a=7$时：$11*7=77$，需要$2b + S(16+b)=14$。遍历$b=0$到9：
  • $b=0$：$0+7=7≠14$；$b=1$：$2+8=10≠14$；$b=2$：$4+9=13≠14$；$b≥3$时，$2b≥6$，$S(16+b)≥10$（比如$b=3$时19的数位和是10），$6+10=16>14$，无解。
• 当$a=6$时：$11*6=66$，需要$2b + S(15+b)=25$。$b≥4$（因为$n≥964$），$2b≤18$（$b≤9$），$S(15+b)$最大是6（当$b=9$时24的数位和是6），$18+6=24<25$，无解。

结论 #

遍历所有可能的$n$范围后，没有找到满足$n + S(n) + S(S(n)) = 1000$的正整数$n$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jullius Silva