问题：Find the ratio in which the diagonals of the quadrilateral $ABCD$ divide each other if the vertices are $A(1,5)$, $B(4,1)$, $C(7,5)$, and $D(4,9)$.

我知道如果求出直线$AC$和$BD$的方程就能找到交点，但我参考的书还没讲直线方程的内容，有没有其他方法？

我想找一个适用于所有这类问题的通用方法。

没问题！完全可以不用直线方程，咱们用分点公式就能搞定，而且这是个通用于所有这类题的方法，步骤超清晰：

• 首先，假设两条对角线$AC$和$BD$的交点是$O$。咱们可以用“单变量比例”来简化计算——比如设$O$把一条线段分成$k:1$的比例（比用$m:n$少一个变量，算起来更省心）。
• 先回忆分点公式：如果一个点把线段两端点$(x_a,y_a)$和$(x_b,y_b)$分成$k:1$的比例（从第一个点到第二个点的占比是$k:1$），那这个点的坐标就是 $\left( \frac{k x_b + x_a}{k+1}, \frac{k y_b + y_a}{k+1} \right)$。
• 回到你的题目，先处理$AC$：$A(1,5)$，$C(7,5)$，设$O$分$AC$的比例为$k:1$，那$O$的坐标就是 $\left( \frac{7k + 1}{k+1}, \frac{5k + 5}{k+1} \right)$。你看，$A$和$C$的纵坐标都是5，所以$O$的纵坐标直接就是$\frac{5(k+1)}{k+1}=5$，这个先记下来。
• 同时$O$在$BD$上，$B(4,1)$，$D(4,9)$，设$O$分$BD$的比例为$l:1$，那$O$的坐标又可以写成 $\left( \frac{4l + 4}{l+1}, \frac{9l + 1}{l+1} \right)$。这里$B$和$D$的横坐标都是4，所以$O$的横坐标直接就是$\frac{4(l+1)}{l+1}=4$。
• 现在两个坐标都是$O$的，所以横坐标和纵坐标必须分别相等：
  1. 横坐标相等：从$AC$的分点公式来，$\frac{7k + 1}{k+1}=4$，解这个方程：
     $7k + 1 = 4(k+1)$ → $7k +1 =4k +4$ → $3k=3$ → $k=1$，也就是$O$分$AC$的比例是$1:1$。
  2. 纵坐标相等：从$BD$的分点公式来，$\frac{9l +1}{l+1}=5$，解方程：
     $9l +1=5(l+1)$ → $9l+1=5l+5$ → $4l=4$ → $l=1$，也就是$O$分$BD$的比例也是$1:1$。

那通用方法可以总结成这几步，不管什么四边形坐标都能用：

1. 设交点分第一条对角线的比例为$k:1$，写出交点的坐标表达式；
2. 设交点分第二条对角线的比例为$l:1$，写出另一个坐标表达式；
3. 让两个表达式的横坐标、纵坐标分别相等，得到两个方程；
4. 解这两个方程，得到的$k$和$l$就是对应的分割比例（比如$k=2$就是$2:1$）。

这个方法完全不涉及直线方程，纯靠坐标和分点公式推导，不管四边形的顶点坐标是不是特殊值，都能套用，完美符合你的需求～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者KnightRiderDutt