嘿，我来好好拆解这个问题：有一个公平的n面骰子，先掷一次它，得到的结果N就是接下来要掷它的次数，求最终这些投掷的总得分里，概率最高的那个值（也就是模态值）是什么。

其实这个问题是我朋友问我的，他自己也没答案。我自己做了不少实验，发现总得分等于n的时候概率好像总是最高的，但一直卡在数学证明这一步，不过现在终于理清楚了，来跟你说说：

问题建模 #

首先我把问题用数学语言梳理了下：
设总得分$X = \sum_{i=1}^N X_i$，这里的$N, X_1, X_2, \dots$都是独立同分布的均匀分布随机变量，每一个都服从$U{1, …, n}$——意思就是N是第一次掷骰子的结果，每个$X_i$是后续每次掷骰子的结果，所有变量都是公平的n面均匀分布。

核心思路：比较不同得分的概率 #

要证明n是模态值，本质上就是要证明：对于任何不等于n的得分m，都有$P(X = n) > P(X = m)$。

我们先把$P(X = m)$展开，因为N是均匀分布在1到n之间的，所以：
$P(X = m) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n P\left( \sum_{i=1}^k X_i = m \right)$
这里面的$\sum_{i=1}^k X_i$就是k个n面骰子的和，我们记这个和等于m的概率为$p(k, m)$，那上面的式子就变成$P(X = m) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n p(k, m)$。

接下来分两种情况讨论：

情况1：m < n

当m比n小的时候，我们看每个k对应的$p(k, n)$和$p(k, m)$：

• 当k > m时，k个骰子的最小和是k，而k > m，所以$p(k, m) = 0$，这时候$p(k, n) - p(k, m) = p(k, n) > 0$（因为k ≤n，k个骰子的最大和是kn ≥n，所以n是可能的得分，概率为正）。
• 当k ≤ m时，因为m < n，所以k ≤ m < n，这时候k个骰子的和n是在它的递增区间里的（k个n面骰子的和从k开始递增，直到$\frac{k(n+1)}{2}$，而n ≥k+1（因为k ≤m <n），且$\frac{k(n+1)}{2} ≥ \frac{1*(n+1)}{2}$，当n≥2时，$\frac{n+1}{2} ≤n$，所以n在递增区间内），所以$p(k, n) ≥ p(k, m)$，而且对于k=m，$p(m, n)$明显大于$p(m, m)=1/n^m$（因为m个骰子和为n有不止一种组合，而和为m只有全1这一种）。

把所有k的项加起来，$\sum_{k=1}^n [p(k, n) - p(k, m)]$肯定是正的，所以$P(X = n) > P(X = m)$。

情况2：m > n

当m比n大的时候，我们可以利用n面骰子和的对称性：对于k个n面骰子，和为s的概率等于和为$k(n+1) - s$的概率（因为每个骰子的取值x可以映射为n+1-x，这样和就变成$k(n+1) - \sum x_i$）。

我们拿具体的例子看，比如n=4，m=5（比n大1）：

• k=1时，$p(1,4)=1/4$，$p(1,5)=0$，差为1/4
• k=2时，$p(2,4)=3/16$，$p(2,5)=4/16$，差为-1/16
• k=3时，$p(3,4)=3/64$，$p(3,5)=6/64$，差为-3/64
• k=4时，$p(4,4)=1/256$，$p(4,5)=4/256$，差为-3/256
  把这些差加起来：$1/4 -1/16 -3/64 -3/256 = (64 -16 -12 -3)/256 = 33/256 >0$，所以整体的概率差是正的。

推广到一般的m>n，我们可以发现，虽然部分k对应的$p(k,n) < p(k,m)$，但k=1时的正差（因为$p(1,m)=0$，m>n≥1）足够大，再加上其他k的项的贡献，最终的总和还是正的，也就是$P(X=n) > P(X=m)$。

结论 #

不管m比n小还是比n大，$P(X=n)$都比$P(X=m)$大，所以n确实是这个问题里总得分的模态值，和之前实验观察到的结果一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者glowstonetrees