嘿，我完全懂你这种卡在基础概念上的感觉！没学测度论的话，确实不用硬啃那些抽象的术语，咱们从最直观的离散和连续情况分别说，保证你能get到~

先从你提到的简单情况$E[X|X]=X$说起，再推广到$E[f(X)|X]=f(X)$。

离散随机变量的情况 #

你已经写到了条件期望的公式：
$$E[X \mid X = x'] = \sum_{x} x \frac{P(X=x, X = x')}{P(X = x')}$$
咱们接着往下推：

• 当$x \neq x'$时，$X$同时等于$x$和$x'$的概率肯定是0，所以这部分求和项直接消失；
• 当$x = x'$时，分子$P(X=x, X=x')$其实就是$P(X=x')$，因为只有$X=x'$的时候这个联合概率才不为0。

代入公式的话，就只剩下$x' \times \frac{P(X=x')}{P(X=x')} = x'$。而这里的$x'$其实就是$X$的取值呀——当我们说“给定$X=x'$”时，$X$的取值就是$x'$，所以$E[X|X=x'] = x'$，把$x'$换成$X$的话，自然就是$E[X|X] = X$了。

再推广到$E[f(X)|X]$：
同样用离散的条件期望公式：
$$E[f(X) \mid X = x'] = \sum_{x} f(x) \frac{P(X=x, X = x')}{P(X = x')}$$
和刚才一样，只有当$x=x'$时，求和项才不为0，这时候$f(x)=f(x')$，代入后就是$f(x') \times \frac{P(X=x')}{P(X=x')} = f(x')$，换成$X$的话就是$E[f(X)|X] = f(X)$，是不是很直观？

连续随机变量的情况 #

不用测度论的话，咱们用条件概率密度来理解。条件期望的公式是：
$$E[X \mid X = x'] = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f_{X|X}(x|x') dx$$
这里的条件概率密度$f_{X|X}(x|x')$是什么呢？当给定$X=x'$时，$X$只能取$x'$这个值，所以它是一个狄拉克δ函数（你可以理解成在$x=x'$处无限高、面积为1的“尖峰”），也就是$f_{X|X}(x|x') = \delta(x - x')$。

代入积分的话，$\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \delta(x - x') dx = x'$，同样的，这就等于$X$在给定条件下的取值，所以$E[X|X] = X$。
推广到$f(X)$的话，$E[f(X)|X=x'] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot \delta(x - x') dx = f(x')$，也就是$E[f(X)|X] = f(X)$。

其实本质上，这个结论的核心逻辑很简单：当我们“给定$X$”时，$X$的取值已经确定了，那$f(X)$的取值也跟着确定了，它的期望就是它本身——毕竟一个确定的数的期望就是它自己嘛！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者R24698