嘿，咱们来深挖一下标准正态分布里$\max(X,0)$和$\min(X,0)$这两个变量的相关性问题，我把推导过程和结论给你讲得明明白白的～

一、变量定义与直观观察 #

首先先明确这两个函数的取值规则：

• 当$X>0$时，$\max(X,0)=X$，$\min(X,0)=0$
• 当$X<0$时，$\max(X,0)=0$，$\min(X,0)=X$

咱们给这俩变量起个好记的名字：$Z=\max(X,0)$（X的正部），$Y=\min(X,0)$（X的负部）。凭直觉就能得出几个关键的期望结论：

• $E(ZY)=0$：你想啊，Z和Y永远不会同时有非零值，要么Z是X、Y是0，要么反过来，所以它们的乘积ZY永远是0，期望自然也是0
• $E(Z)E(Y)<0$：E(Z)是X取正值部分的平均值，肯定是正的；E(Y)是X取负值部分的平均值，肯定是负的，一正一负相乘，结果必然小于0
• $E(Z+Y)=E(X)=0$：Z+Y其实就是X本身嘛，而标准正态分布的期望$E(X)=0$，这个结论顺理成章

二、相关性的推导 #

接下来咱们推导它们的相关系数。先回忆相关系数的核心公式：
$$\operatorname{corr}(Z,Y)=\frac{\operatorname{cov}(Z,Y)}{\operatorname{std}(Z)\operatorname{std}(Y)}$$
而协方差的计算公式是$\operatorname{cov}(Z,Y)=E(ZY)-E(Z)E(Y)$，结合前面的结论$E(ZY)=0$，就能得到：
$$\operatorname{cov}(Z,Y)= -E(Z)E(Y)$$

把这个代入相关系数公式：
$$\operatorname{corr}(Z,Y)=\frac{-E(Z)E(Y)}{\operatorname{std}(Z)\operatorname{std}(Y)}$$
前面说了E(Z)正、E(Y)负，所以$-E(Z)E(Y)$是正的；分母是两个标准差的乘积，肯定也是正的，所以整个相关系数大于0。是不是有点反直觉？按说Z是X的正部，Y是X的负部，怎么会正相关？但数学推导就是这么有意思～

三、标准正态下的具体数值求解 #

咱们拿标准正态分布$X \sim N(0,1)$来算具体的数值，更直观：

首先计算$E(Z)$：
$$\begin{align}
E(Z)&=\int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x2/2} dx \
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} x e^{-x2/2} dx \
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ -e^{-x2/2} \right]{0}^{\infty} \
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (0 - (-1)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\end{align}$$
同理，$E(Y)$就是X取负值部分的期望：
$$E(Y)=\int{-\infty}^{0} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x2/2} dx = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$

接下来算协方差：
$$\operatorname{cov}(Z,Y)= -E(Z)E(Y)= -(\frac{1}{\sqrt{2\pi}})(-\frac{1}{\sqrt{2\pi}})=\frac{1}{2\pi}$$

然后算标准差，先算$\text{Var}(Z)$：
$\text{Var}(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]2$，而$Z^2=\max(X,0)2=X^2 \cdot I(X>0)$（I是指示函数，X>0时取1，否则取0），标准正态的二阶矩$E(X^{2)=1$，所以正半部分的$E(Z}2)=1/2$。代入得：
$$\text{Var}(Z)=\frac{1}{2} - (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\pi}$$
$\text{std}(Z)=\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2\pi}}$，而Y的方差和Z完全一样，所以$\text{std}(Y)=\text{std}(Z)$

最后代入相关系数公式：
$$\operatorname{corr}(Z,Y)=\frac{\frac{1}{2\pi}}{\left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2\pi}} \right)^2} = \frac{\frac{1}{2\pi}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2\pi}} = \frac{1}{\pi - 1} \approx 0.483$$
这样就得到了具体的相关系数值，约为0.483，确实是正的～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者blablahhha