关于证明$c_0\subset l^\infty$不存在拓扑补空间的技术问询（针对问题(c)）

我最近被布置了一道作业题，需要证明：在$\mathbb{C}$上的有界序列空间$l^\infty$中，其子空间$c_0$（所有收敛到0的序列构成的空间）不存在拓扑补空间。相关题目如下：

我已经完成了题目中(a)和(b)部分的证明，但在(c)部分遇到了瓶颈。目前我的推导进展如下：

假设对任意$\varphi$都有$L_n(\varphi)\rightarrow 0$，那么根据一致有界原理（UBP），存在常数$C$使得$||L_n|| < C$，这样我们就能找到(b)部分描述的特征函数...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Coco