嘿，我来一步步帮你拆解这个不等式，它的核心是利用**|sinx|的有界性**，再结合不同区间里分母的增长特点拆分构造上界，完全是为了适配勒贝格控制收敛定理里“找可积控制函数”的需求～

首先先记牢一个关键前提：对任意实数x，|sinx| ≤ 1，所以不管n是正整数还是自然数，|sinx|ⁿ ≤ 1ⁿ = 1，这是整个推导的基础。

接下来我们分两个区间逐一分析：

1. 当x ∈ (0, 1]时 #

先看分母部分：x(1+x)。因为x在(0,1]区间里，1+x ≥ 1（毕竟x>0，加1之后肯定大于等于1）。对于正数来说，分母越大，分式的值越小，反过来，分母的下界能帮我们推导出分式的上界。
因为1+x ≥ 1，两边乘以正数x，得到x(1+x) ≥ x×1 = x。
结合分子|sinx|ⁿ ≤ 1的有界性，整个分式自然满足：
$$\frac{|\sin(x)|^n}{x(1+x)} \leq \frac{1}{x}$$
这就对应了不等式里的第一项 $\frac{1}{x} \mathbf{1}_{]0,1]}$（指示函数的作用就是只在(0,1]区间生效，其他区间为0）。

2. 当x ∈ [1, +∞)时 #

同样先分析分母：x(1+x) = x + x²。当x≥1时，1+x ≥ x（因为x≥1，1+x - x = 1 ≥ 0），两边乘以正数x，得到x(1+x) ≥ x×x = x²。
还是用分子|sinx|ⁿ ≤ 1的结论，整个分式就有：
$$\frac{|\sin(x)|^n}{x(1+x)} \leq \frac{1}{x^2}$$
这就对应了不等式里的第二项 $\frac{1}{x^2} \mathbf{1}_{[1,+\infty[}$。

至于为什么要分区间？其实是因为分母在两个区间的主导项不一样：

• 在靠近0的(0,1]区间，分母里的x是主导项，x²相对于x可以忽略，用1/x控制足够；
• 在x很大的[1,+∞)区间，分母里的x²成为主导项，x相对于x²可以忽略，这时候用1/x²控制，既能保证上界，又能让控制函数在无穷区间上可积（毕竟∫₁^+∞ 1/x² dx是收敛的），完美匹配勒贝格控制收敛定理对控制函数的可积要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Varánselmo Sui