当然有办法用反证法来证明这个命题，不用非得依赖分奇偶的情况！我来给你捋清楚两种可行的反证思路：

思路一：从连续整数的核心性质切入 #

• 首先严格遵循反证法逻辑：假设原命题不成立，即存在某个整数$n$，使得$n^2 - n$是奇数。
• 先对式子做变形：$n^2 - n = n(n-1)$，这是两个连续整数的乘积。
• 这里的矛盾点很关键：如果两个整数的乘积是奇数，那么这两个整数必须都是奇数（因为偶数和任何整数相乘结果都是偶数）。但$n$和$n-1$是连续的，它们中必然一个是偶数、一个是奇数，根本不可能同时为奇数。
• 这个矛盾直接推翻了我们的假设，因此原命题必然成立。

思路二：顺着你设想的方向推导 #

• 同样从反证假设出发：存在整数$n$，使得$n^2 - n$是奇数，也就是存在整数$m$，满足$n^2 - n = 2m + 1$。
• 按照这个等式解出$m$：$m = \frac{n^2 - n - 1}{2}$。现在我们要证明这个$m$不可能是整数：
  • 因为$n(n-1)$是连续整数的乘积，它一定是偶数（连续整数中必有一个是偶数，偶数乘任何整数都是偶数），所以$n^2 - n$是偶数。
  • 偶数减1得到的是奇数，因此$n^2 - n - 1$是奇数，一个奇数除以2的结果必然不是整数，这和我们假设的“$m$是整数”矛盾。
• 矛盾出现，说明原假设不成立，原命题得证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者poka luka wan