先把问题清晰化：假设我们有一个n阶实矩阵 ( A = (a_{i,j}) )，它满足三个核心条件：

• 所有元素全正（也就是A是正矩阵）
• 矩阵对称，即 ( a_{i,j} = a_{j,i} ) 对所有i,j成立
• 当i≠j时，非对角线元素 ( a_{i,j} \leq \min(a_{i,i}, a_{j,j})/2 )

那这样的矩阵一定是正定矩阵吗？（正定的定义是所有特征值为正，等价于对任意非零实向量x，都有 ( x^T A x > 0 )）

先看低阶情况：n=2 #

对于2阶矩阵，正定的充要条件是主对角线元素为正，且行列式大于0。主对角线元素正已经由第一个条件保证了，而行列式 ( \det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}^2 )。根据第三个条件，( a_{12} \leq \min(a_{11},a_{22})/2 )，所以 ( a_{12}^2 \leq (\min(a_{11},a_{22}))^2 /4 )。假设 ( a_{11} \leq a_{22} )，代入行列式得：
[
\det(A) \geq a_{11}a_{22} - \frac{a_{11}^2}{4} = a_{11}\left(a_{22} - \frac{a_{11}}{4}\right)
]
因为 ( a_{11},a_{22} >0 )，括号里的部分肯定为正，行列式自然大于0，所以2阶时A必正定。

高阶情况：n≥3 #

可能你会担心阶数高了会不会出现反例，但实际上满足条件的矩阵依然都是正定的，我们可以从这个角度理解：

我们构造一个对角矩阵 ( D )，其中 ( D_{ii} = \frac{1}{\sqrt{a_{ii}}} )，然后定义 ( B = D A D )。不难验证：

• B是对称正矩阵（因为A对称正，D可逆）
• B的主对角线元素全为1（( B_{ii} = D_{ii}a_{ii}D_{ii} = 1 )）
• 当i≠j时，( B_{ij} = \frac{a_{ij}}{\sqrt{a_{ii}a_{jj}}} \leq \frac{\min(a_{ii},a_{jj})}{2\sqrt{a_{ii}a_{jj}}} )。由均值不等式 ( \sqrt{xy} \geq \min(x,y) )，可得 ( B_{ij} \leq \frac{1}{2} )。

现在我们只需要证明B是正定的：对于任意非零向量x，二次型 ( x^T B x = \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2\sum_{1\leq i<j\leq n} B_{ij}x_i x_j )。

举个最坏情况：所有非对角线元素都取到最大值0.5，此时B的二次型为：
[
x^T B x = \sum x_i^2 + \sum_{i<j} x_i x_j = \frac{1}{2}\left(\sum x_i\right)^2 + \frac{1}{2}\sum x_i^2
]
这个式子显然大于等于0，且只有当所有x_i=0时才等于0，所以是正定的。而当非对角线元素小于0.5时，二次型只会更大；哪怕x有正负分量，比如x=(1,-1,0)，代入得 ( x^T B x = 2 - 2B_{12} )，因为 ( B_{12} \leq 0.5 )，结果依然大于0。

结论 #

不管阶数n是多少，满足题目中三个条件的对称正矩阵一定是正定矩阵，所有特征值都是正数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sebastien Palcoux