咱们一步步拆解这个问题：

首先分析原不等式的分子分母特性：

• 分子$x^2 + k^2$：平方数都是非负的，且x和k不可能同时为0（否则左边为0，不满足≥1），所以分子始终是正数。
• 分母里的$6+x$：当x在[-1,1]区间时，$6+x$的范围是[5,7]，显然也是正数。

原不等式左边是正数除以$(k×正数)$，要让整个式子≥1（正数），分母必须为正，所以直接得出$k>0$，先把k的符号确定下来。

接下来对不等式变形，两边同时减1并通分，得到：
$$\frac{x^2 - kx + k^2 - 6k}{k(6+x)} \ge 0$$
因为分母$k(6+x)$已经确定是正数（k>0，6+x>0），所以整个分式≥0等价于分子在[-1,1]上恒≥0，也就是二次函数$f(x)=x^2 - kx + k^2 - 6k$对所有$x∈[-1,1]$都满足$f(x)≥0$。

这是个开口向上的二次函数（二次项系数1>0），要让它在[-1,1]上恒≥0，分两种情况讨论：

情况1：二次函数与x轴无交点或仅有一个交点（判别式≤0） #

计算判别式：
$$\Delta = (-k)^2 - 4×1×(k^2 - 6k) = k^2 - 4k^2 + 24k = 3k(8 - k)$$
令$\Delta ≤0$，结合k>0，两边除以3k（正数，不等号方向不变），得到$8 - k ≤0$，即$k≥8$。
此时函数在全体实数上都≥0，自然满足区间[-1,1]的要求。

情况2：二次函数与x轴有两个交点（判别式>0），但在[-1,1]上的最小值≥0 #

判别式>0时，$3k(8 - k) >0$，结合k>0，可得$8 - k >0$，即$0<k<8$。
开口向上的二次函数对称轴为$x=\frac{k}{2}$，根据对称轴和区间[-1,1]的位置关系分析最小值：

• 若$\frac{k}{2} ≤ -1$（即k≤-2）：与k>0矛盾，直接排除。
• 若$-1 < \frac{k}{2} <1$（即0<k<2）：函数在对称轴$x=\frac{k}{2}$处取最小值，代入计算得：
  $$f(\frac{k}{2}) = \frac{3k^2}{4} -6k$$
  令最小值≥0，化简得$k(k-8)≥0$，但0<k<2时k-8<0，左边为负，不满足条件，无解。
• 若$\frac{k}{2} ≥1$（即k≥2）：函数在[-1,1]上单调递减（开口向上，对称轴在区间右侧），最小值在x=1处取得：
  $$f(1)=k^2 -7k +1$$
  令$f(1)≥0$，用求根公式解得根为$k=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}$。结合k≥2，$\frac{7-3\sqrt{5}}{2}≈0.146<2$舍去，$\frac{7+3\sqrt{5}}{2}≈6.854$，所以满足条件的解是$\frac{7+3\sqrt{5}}{2}≤k<8$。

合并最终解 #

把两种情况的结果合并，k的取值范围是：
$$k≥\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dev