嘿，这个问题在正特征代数几何里挺有代表性的——答案是不能，存在明确的反例。咱们来一步步拆解清楚：

首先得明确背景：我们有光滑曲面$X$到$Y$的双有理态射$f: X \to Y$，基域特征$p>0$，已知$f^K_Y \cong K_X$（这里$K$指canonical层），想知道能不能推出$f^\Omega_Y \cong \Omega_X$（$\Omega$是微分1形式层）。

先提一句特征0的情况做对比：如果在特征0下，光滑曲面的双有理态射满足$f^*K_Y \cong K_X$，那$f$必然是同构，微分层拉回自然也同构。但正特征下情况完全不一样，特征$p$的特殊性会催生一些奇异的双有理收缩行为。

给你举个具体的反例（以$p=2$为例）：

• 先构造曲面$X$：取一个光滑曲面，上面有一条光滑的有理曲线$C$（也就是亏格$g(C)=0$的曲线），它的自交数$C \cdot C = -2$。在特征2中，$C$的法丛$O_C(-2)$和$O_C$是同构的（因为$2 \equiv 0 \mod 2$，$-2$相当于0），这意味着我们可以把$C$收缩成$Y$上的一个奇点，得到双有理态射$f: X \to Y$。
• 验证canonical层的条件：对于这个收缩，有$K_X = f^*K_Y + aC$，其中$a$是某个系数。用相交数计算：$K_X \cdot C = (f^*K_Y + aC) \cdot C = 0 + a \cdot (C \cdot C) = -2a$。在特征2里$-2a=0$，同时根据adjunction公式，$K_X \cdot C = 2g(C)-2 - C \cdot C = 0 -2 - (-2)=0$，所以$a=0$，也就是$K_X \cong f^*K_Y$，满足题目里的条件。
• 看微分层的差异：$\Omega_Y$在$Y$的奇点处不是局部自由层（甚至连Cohen-Macaulay层都不是），而$f^{*\Omega_Y$作为$X$上的层，在曲线$C$处的stalk结构和$\Omega_X$的stalk完全不同——$\Omega_X$是局部自由的，而$f}*\Omega_Y$在$C$处有非自由的子层结构，两者显然不同构。

核心原因其实在于：正特征下，canonical层的拉回同构只反映了除子层面的等价性，但微分层的拉回涉及到更深的局部结构。当$Y$存在奇点时，$\Omega_Y$的奇异性没法被canonical层的良好性质掩盖，最终导致拉回后的层和$X$上的光滑微分层不同构。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rollover