嘿，咱们来一步步拆解这个问题，找到符合要求的多项式：

首先先明确问题要求：找整数系数的多项式 $p(x) = -ax^2 + bx + c$（$a,b,c$ 是整数，$a>0$），使得对所有开区间 $(0,1)$ 里的 $x$，$p(x)$ 都是正数，同时要让这个多项式在 $(0,1)$ 内的最大值尽可能小。

第一步：找最大值点 #

先对多项式求导找极值点：$p'(x) = -2ax + b$。令导数为0，解得 $x = \frac{b}{2a}$。因为 $a>0$，二阶导数 $p''(x) = -2a < 0$，所以这个点就是整个区间内的极大值点（也是最大值点，毕竟开口向下的抛物线）。

把这个极值点代入原多项式，算出最大值：
$$
p\left(\frac{b}{2a}\right) = -a\left(\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(\frac{b}{2a}\right) + c = \frac{b^2}{4a} + c
$$

第二步：转化约束条件 #

要满足 $(0,1)$ 内 $p(x) > 0$，结合多项式的连续性，咱们可以得到几个关键的整数约束：

1. 端点非负：因为开区间内恒正，闭区间端点处至少不能为负（不然靠近端点的地方会变负），也就是 $p(0) = c \geq 0$，$p(1) = -a + b + c \geq 0$；
2. 最大值点的位置：为了让最大值尽可能小，咱们优先让最大值点落在 $(0,1)$ 内（不然最大值会出现在端点，数值会更大），也就是 $0 < \frac{b}{2a} < 1$，转化为整数条件就是 $1 \leq b \leq 2a - 1$。

第三步：枚举验证找最小最大值 #

咱们从最小的正整数 $a$ 开始试，毕竟 $a$ 越小，二次项的“向下拉力”越弱，更容易得到小的最大值：

• 当 $a=1$ 时：
  此时 $b$ 只能取1（因为 $1 \leq b \leq 2*1-1=1$）。代入最大值公式得到 $\frac{1}{4} + c$。
  再看约束：$p(0)=c \geq0$，$p(1)=-1+1+c=c \geq0$。
  取最小的非负整数 $c=0$，此时多项式为 $p(x) = -x^2 + x$。咱们验证一下：

  • 整数系数满足要求，$a=1>0$；
  • 在 $(0,1)$ 内，$p(x)=x(1-x)$，显然所有值都是正数；
  • 最大值在 $x=\frac{1}{2}$ 处，值为 $\frac{1}{4}$。

  那有没有可能找到最大值比 $\frac{1}{4}$ 更小的多项式？咱们来反证一下：
  假设存在这样的多项式，最大值 $k < \frac{1}{4}$。因为 $c$ 是非负整数，所以 $c$ 只能是0（不然 $\frac{b^2}{4a} + c \geq 1 > \frac{1}{4}$），此时 $\frac{b^2}{4a} < \frac{1}{4}$，即 $b^2 < a$。但同时要满足 $p(1) = -a + b \geq0$，也就是 $b \geq a$。这就矛盾了：$b \geq a$ 意味着 $b^2 \geq a^2 \geq a$（因为 $a$ 是正整数），和 $b^2 <a$ 冲突。所以不可能存在最大值比 $\frac{1}{4}$ 更小的符合条件的多项式。

最终结论 #

满足所有约束条件的多项式中，最小的最大值是 $\frac{1}{4}$，对应的多项式为 $p(x) = -x^2 + x$（整数系数 $a=1,b=1,c=0$）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Max