嘿，我正在为泛函分析课啃Hörmander的讲义，里面的闭图像定理表述有点特别，我先给你贴出来：

设$T$是从Fréchet空间$F_1$的子空间$D_T$到Fréchet空间$F_2$的闭线性映射（这里的“闭”指它的图像是$F_1\times F_2$的闭子集）。那么$D_T$要么是第一纲集，要么$D_T=F_1$且$T$连续；$\operatorname{im}(T)$要么是第一纲集，要么$\operatorname{im}(T)=F_2$。

我正想给这个定理里的每个结论分支找对应的具体例子，现在整理了几个经典的构造，分享给你：

• 情况1：$D_T$是第一纲集
  取Fréchet空间$F_1=F_2=\mathbb{R}^\mathbb{N}$（赋予乘积拓扑，这是标准的Fréchet空间），令$D_T$为所有只有有限个非零项的序列构成的子空间，定义线性映射$T:D_T\to F_2$为$T((x_n))=(n x_n)$。首先可以验证$T$是闭线性映射：假设$(x_n^{(k)}, T(x_n^{(k)}))$收敛到$(x_n, y_n)$，那么每个$x_n^{(k)}$收敛到$x_n$，$n x_n^{(k)}$收敛到$y_n$，如果$x_n\neq0$，则$n x_n=y_n$，而只有有限个$x_n$非零，所以$(x_n)\in D_T$，$y_n=T(x_n)$。而$D_T$在$\mathbb{R}^\mathbb{N}$中是第一纲集，因为它是可数个有限维子空间的并，每个有限维子空间在无限维Fréchet空间中都是无处稠密的，根据Baire纲定理，可数个无处稠密集的并就是第一纲集。

• 情况2：$D_T=F_1$且$T$连续
  这个是最直观的，比如取$F_1=F_2=C([0,1])$（赋予上确界范数诱导的拓扑，典型的Fréchet空间），定义$Tf=f$（恒等映射），显然$D_T=F_1$，而且$T$是连续的——上确界范数下$||Tf||=||f||$，直接满足连续的定义。另外比如积分算子$Tf(t)=\int_0^t f(s)ds$也是个好例子，它把$C([0,1])$映射到自身，连续且定义域是整个空间。

• 情况3：$\operatorname{im}(T)$是第一纲集
  还是用$F_1=F_2=C([0,1])$，取$D_T=C^{1([0,1])$，定义$Tf=f'$（导数算子）。$T$是闭线性映射这是经典结论：如果$f_n$一致收敛到$f$，$f_n'$一致收敛到$g$，那么$f$肯定可导且$f'=g$。而它的像集是所有在$[0,1]$上能作为某个$C}1$函数导数的连续函数，这个像集在$C([0,1])$中是第一纲集——毕竟大部分连续函数其实是不可导的，更别说能当某个可导函数的导数了，从Baire纲的角度看，它是可数个无处稠密集的并，属于第一纲集。

• 情况4：$\operatorname{im}(T)=F_2$
  比如取$F_1=C^1([0,1])$（赋予范数$||f||=||f||\infty + ||f'||\infty$，是Fréchet空间），$F_2=C([0,1])$，定义$Tf=f'$。这时候$T$的像集是整个$C([0,1])$——任何连续函数$g\in C([0,1])$，只要取$f(t)=\int_0^t g(s)ds$，那$f$就属于$C^1([0,1])$且$Tf=g$。同时$T$是连续的（因为$||Tf||\infty=||f'||\infty\leq||f||$），当然也是闭线性映射，完美满足$\operatorname{im}(T)=F_2$。要是嫌这个复杂，取恒等映射也行，像集就是整个空间，简单直接。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Coco