嘿，我来帮你搞定这个卡壳的不等式问题！首先咱们先利用三角形内角和的性质简化问题——在△ABC里，$A+B+C=\pi$，所以$A+B=\pi-C$，原不等式$\cos(A+B) \leq \cos A + \cos B$直接等价于$\cos(\pi-C) \leq \cos A + \cos B$，也就是$-\cos C \leq \cos A + \cos B$，换个写法就是$\cos A + \cos B + \cos C \geq 0$。

接下来咱们一步步把这个式子推透：

• 先用三角恒等变换处理$\cos A + \cos B$，用和差化积公式：$\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$。因为$\frac{A+B}{2}=\frac{\pi-C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$，所以$\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)=\sin\frac{C}{2}$，代入后就得到$\cos A + \cos B = 2\sin\frac{C}{2}\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$。
• 再用二倍角公式把$\cos C$展开：$\cos C = 1 - 2\sin^2\frac{C}{2}$。
• 把这两个结果代入$\cos A + \cos B + \cos C$里，整理一下：
  $$
  \begin{align*}
  \cos A + \cos B + \cos C &= 2\sin\frac{C}{2}\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) + 1 - 2\sin^2\frac{C}{2} \
  &= 1 + 2\sin\frac{C}{2}\left[\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) - \sin\frac{C}{2}\right]
  \end{align*}
  $$
• 这里再换个恒等变换，$\sin\frac{C}{2}=\cos\left(\frac{\pi-C}{2}\right)=\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)$，所以括号里的部分可以用和差化积公式展开：$\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)-\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)=2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}$。
• 代入后就得到最终的简化结果：
  $$
  \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}
  $$

看到这里是不是眼熟？正好就是你提到的1970年越南奥赛题里的那个乘积项！因为三角形的每个内角都在$(0,\pi)$之间，所以每个半角都在$(0,\frac{\pi}{2})$，正弦值全是正数，那$4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$肯定是正的，所以整个式子$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 正数$，显然大于1，更别说大于等于0了！这就直接证明了$\cos A + \cos B + \cos C \geq 0$，也就是原不等式$\cos(A+B) \leq \cos A + \cos B$在任意△ABC中都成立。

再回到你之前推到的那步$(1-\cos B)(1-\cos A) < \sin A \sin B +1$，其实这和原不等式是等价变形——你把左边展开，移项整理后就会回到$\cos(A+B) < \cos A + \cos B$，所以只要证明了后面的结论，这步自然就成立了。

最后咱们用几个特殊三角形验证下：

• 直角三角形：$A=\frac{\pi}{2}, B=\frac{\pi}{4}, C=\frac{\pi}{4}$，$\cos(A+B)=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx-0.707$，$\cos A + \cos B=0+\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，满足不等式；
• 钝角三角形：$A=\frac{2\pi}{3}, B=\frac{\pi}{6}, C=\frac{\pi}{6}$，$\cos(A+B)=\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx-0.866$，$\cos A + \cos B=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.366$，也满足；
• 等边三角形：$\cos(A+B)=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$，$\cos A + \cos B=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，同样成立。

所以这个不等式在所有三角形里都是恒成立的哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chicori