嘿，这个问题的答案其实可以参考Whitney延拓定理或者Borel引理来理解~ 先明确下我们接下来要用到的符号：我会取 $E=\mathbb{R}^n$，$x\in E$ 是单位向量（也就是 $|x|=1$），半空间 $H={y\in E,|,\langle x,y\rangle\geq0}$。

下面给你拆解两种常见的“半空间上光滑函数”的定义，以及对应的延拓结论：

经典意义下的光滑性 #

在经典定义里，我们说半空间 $H$ 上的函数 $f:H\rightarrow\mathbb{R}$ 是光滑的，指的是它能被延拓到全空间 $E$ 中 $H$ 的某个邻域上，成为一个光滑函数。而且这个定义对所有光滑性类型都通用——不管是一阶可导的 $C^1$、k阶可导的 $C^k$、无限阶可导的 $C^\infty$，甚至实解析的 $C^\omega$ 函数，这个定义都完全成立。换句话说，能满足这个经典光滑性定义的半空间函数，结合Whitney延拓定理或Borel引理，是可以进一步延拓到整个全空间的。

直接意义下的光滑性 #

如果是从“直接定义”的角度出发——也就是尝试直接给任意集合 $X$ 上的函数 $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ 定义光滑性的话（这部分内容未补充完整），不过回到核心问题：只要半空间上的函数满足经典意义下的光滑性要求，就具备了延拓到全空间的基础。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cnikbesku