问题背景 #

我正在学习Sheldon Axler的《线性代数应该这样学（第四版）》，完成了2C章节第49页的习题15，但自己的证明过程过于繁琐，希望得到一个更简洁的证明思路。

习题原文

假设$V$是有限维向量空间，$V_1,V_2,V_3$是$V$的子空间，满足$\dim V_1+\dim V_2+\dim V_3>2\dim V$。证明：$V_1\cap V_2\cap V_3\neq{0}$。

我的（繁琐）证明思路

我的证明尝试了多次展开维数公式：

1. $\dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim (V_1\cap V_2)$
2. $\dim (V_1+V_2+V_3)=\dim (V_1+V_2)+\dim V_3-\dim \left((V_1+V_2)\cap V_3\right)$
3. 联立后逐步展开，但过程冗长且不直观。

简洁证明方法 #

这里提供一个仅用两次维数公式变形的凝练证明，核心是利用子空间交的维数下界性质：

1. 前置引理：对有限维向量空间$V$的任意两个子空间$U,W$，有
   $$
   \dim(U \cap W) \geq \dim U + \dim W - \dim V
   $$
   这是维数公式$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$的直接推论——因为$U+W$是$V$的子空间，故$\dim(U+W)\leq\dim V$，移项即可得到上述下界。

2. 证明步骤：

   • 先对$V_1$和$V_2$应用引理，得到：
     $$
     \dim(V_1 \cap V_2) \geq \dim V_1 + \dim V_2 - \dim V
     $$
   • 记$U = V_1 \cap V_2$，我们需要证明$\dim(U \cap V_3) \geq 1$。将上式与$\dim V_3$相加：
     $$
     \dim U + \dim V_3 \geq (\dim V_1 + \dim V_2 - \dim V) + \dim V_3
     $$
   • 代入题设条件$\dim V_1+\dim V_2+\dim V_3>2\dim V$，可得：
     $$
     \dim U + \dim V_3 > 2\dim V - \dim V = \dim V
     $$
   • 最后对$U$和$V_3$再次应用引理：
     $$
     \dim(U \cap V_3) \geq \dim U + \dim V_3 - \dim V > \dim V - \dim V = 0
     $$
     因此$\dim(V_1\cap V_2\cap V_3)=\dim(U\cap V_3)\geq1$，即$V_1\cap V_2\cap V_3$非平凡（不等于${0}$）。

这个证明仅通过两次引理应用，避免了多次展开子空间和的维数公式，逻辑链清晰且步骤简洁。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者佐武五郎