嘿，我来帮你理清楚任意余维数下多元$C^k$函数的高维链式法则问题～

首先咱们先把问题的前提条件明确下来：

• 设$U \subseteq \mathbb{R}^d$和$V \subseteq \mathbb{R}^s$都是欧氏空间里的开集
• 给定两个$C^k$类函数$f: U \to V$和$g: V \to \mathbb{R}^l$，这里$k \geq 1$，$C^k$指的是所有具有连续$k$阶导数的函数集合

你提到当$l=1$（也就是$g$是实值函数）的时候，已经找到了高阶链式法则的公式，那咱们就从这个特殊情况入手，再推广到一般的$l$维输出的情况。

先回顾下一阶链式法则（基础中的基础） #

这个你肯定已经熟了，但还是快速过一遍，方便衔接高阶的情况：
对于复合函数$h = g \circ f$，它的一阶导数（雅可比矩阵）满足：
$$Dh(x) = Dg(f(x)) \cdot Df(x)$$
这里的“·”是矩阵乘法，拆成分量形式的话，对每个$i=1,\dots,d$，就是：
$$\frac{\partial h}{\partial x_i}(x) = \sum_{j=1}^s \frac{\partial g}{\partial y_j}(f(x)) \cdot \frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x)$$
（这里把$f$的分量记为$f_1,\dots,f_s$，也就是$f(x)=(f_1(x),\dots,f_s(x))$）

高阶链式法则：$l=1$（实值$g$）的情况 #

当$g$是实值函数时，高阶导数的链式法则用多重指标来写会特别简洁，这也是你找到的那个公式的核心思路。

先给你明确下多重指标的定义：对于$\alpha = (\alpha_1,\dots,\alpha_d)$，每个$\alpha_i$都是非负整数，我们记$|\alpha| = \alpha_1 + \dots + \alpha_d$（这个是指标的阶数，对应导数的阶数），对应的偏导数算子是$D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\dots\partial x_d^{\alpha_d}}$。

那么对于任意满足$|\alpha| \leq k$的多重指标$\alpha$，复合函数$h = g \circ f$的$\alpha$阶偏导数满足：
$$D^\alpha h(x) = \sum_{\substack{\beta_1 + \dots + \beta_m = \alpha \ m \geq 1}} \frac{|\alpha|!}{\beta_1!\dots\beta_m!} \cdot D^m g(f(x))(D^{\beta_1}f(x), \dots, D^{\beta_m}f(x))$$
可能你看着这个公式有点抽象，举个二阶导数的例子（$|\alpha|=2$），拆成具体的分量形式就直观了：
$$\frac{\partial^2 h}{\partial x_i \partial x_j}(x) = \sum_{p,q=1}^s \frac{\partial^2 g}{\partial y_p \partial y_q}(f(x)) \cdot \frac{\partial f_p}{\partial x_i}(x) \cdot \frac{\partial f_q}{\partial x_j}(x) + \sum_{p=1}^s \frac{\partial g}{\partial y_p}(f(x)) \cdot \frac{\partial^2 f_p}{\partial x_i \partial x_j}(x)$$
你看，这个就是把二阶导数拆成了两部分：一部分是$g$的二阶导数作用在$f$的两个一阶偏导的乘积上，另一部分是$g$的一阶导数作用在$f$的二阶偏导上，完全对应上面的多重指标公式。

一般情况：任意$l$维输出的$g$ #

当$g$是向量值函数（也就是$l>1$）时，其实完全不需要新的公式——咱们只需要把$g$拆成每个分量来处理就行。

把$g$的分量记为$g_1,\dots,g_l$，也就是$g(y)=(g_1(y),\dots,g_l(y))$，那么复合函数$h = g \circ f$的分量就是$h_i = g_i \circ f$，每个$h_i$都是实值函数。

所以对于每个分量$h_i$，直接套用上面$l=1$时的高阶链式法则公式就行：
对于任意满足$|\alpha| \leq k$的多重指标$\alpha$，有：
$$D^\alpha h_i(x) = \sum_{\substack{\beta_1 + \dots + \beta_m = \alpha \ m \geq 1}} \frac{|\alpha|!}{\beta_1!\dots\beta_m!} \cdot D^m g_i(f(x))(D^{\beta_1}f(x), \dots, D^{\beta_m}f(x))$$
如果想用张量的语言统一表达的话，就是把$g$的$m$阶导数看作$(l, \underbrace{s,\dots,s}{m个})$型张量，$f$的$\beta_j$阶导数看作$(\underbrace{d,\dots,d}{|\beta_j|个}, s)$型张量，然后通过张量缩并来得到复合函数的$m$阶导数张量——不过其实对大多数计算来说，分量形式已经足够用了。

几个核心要点提醒你一下 #

• 高阶链式法则的本质是对所有可能的导数阶数分配进行求和，多重指标只是把这种“所有可能”用简洁的符号表示出来
• 实值函数的情况是基础，向量值函数只需要对每个分量分别应用实值函数的公式即可，不需要额外推导
• 所有公式都依赖于$f$和$g$是$C^k$类函数——这保证了各阶导数的连续性，从而克莱罗定理成立，求导的顺序不影响结果，咱们才能放心地用这些公式

备注：内容来源于stack exchange，提问作者epartow