嘿，我来帮你梳理下这个递归序列收敛到1的证明思路～先把你的问题再明确下：我们要证明的是这个递归序列最终会收敛到1：

• 初始项 $x_1 = 0$
• 递推式 $x_{n+1} = x_n - 2\frac{e^{x_n} - e x_n}{e^{x_n} - e}$

你已经观察到了几个关键细节：序列没有不动点，当$x \to 1$时$\frac{e^x - e x}{e^x - e} \to 0$且这是唯一满足该极限的点，序列不单调、在1附近振荡，也找不到显式表达式，直接用柯西准则好像也摸不着头绪——这些观察都很到位，接下来我们就从迭代函数在1附近的行为入手，一步步把“我很确定”变成严谨的证明。

首先，我们把递推式里的迭代函数单独拎出来：令 $f(x) = x - 2\frac{e^x - e x}{e^x - e}$，我们先分析它在$x=1$处的泰勒展开，因为序列一直在1附近晃悠，这是突破口。

先对分子分母分别做泰勒展开（在$x=1$处）：

• 分子 $g(x) = e^x - e x$：$g(1)=0$，一阶导数$g'(x)=e^x - e$，$g'(1)=0$，二阶导数$g''(x)=e^x$，$g''(1)=e$，所以泰勒展开为 $g(x) = \frac{e}{2}(x-1)^2 + o((x-1)^2)$
• 分母 $h(x) = e^x - e$：$h(1)=0$，一阶导数$h'(x)=e^x$，$h'(1)=e$，所以泰勒展开为 $h(x) = e(x-1) + \frac{e}{2}(x-1)^2 + o((x-1)^2)$

把这两个代入比值$\frac{g(x)}{h(x)}$，化简后得到：
$$\frac{g(x)}{h(x)} = \frac{x-1}{2} - \frac{(x-1)^2}{4} + o((x-1)^2)$$

再把这个结果代回迭代函数$f(x)$：
$$f(x) = x - 2\left( \frac{x-1}{2} - \frac{(x-1)^2}{4} + o((x-1)^2) \right)$$
展开后整理：
$$f(x) = 1 + \frac{(x-1)^2}{2} + o((x-1)^2)$$

现在我们做个变量替换，令 $y_n = x_n - 1$（也就是把序列的中心移到1，看偏差项的变化），那么$x_n = 1 + y_n$，代入上面的迭代式，就能得到$y_n$的递推关系：
$$y_{n+1} + 1 = 1 + \frac{y_n^2}{2} + o(y_n^2)$$
消去两边的1，就得到：
$$y_{n+1} = \frac{y_n^2}{2} + o(y_n^2)$$

这个式子太关键了！它说明当$y_n$足够小（也就是$x_n$离1足够近）时，$y_{n+1}$的大小大概是$y_n$平方的一半，这是平方收敛的节奏——这种收敛速度比线性收敛快得多，一旦进入这个阶段，偏差会以指数级的速度衰减到0。

接下来我们分两步完成证明：

1. 证明序列最终会进入1的小邻域：
   我们可以先算前几项看看趋势：$x_1=0$，$x_2=2/(e-1)≈1.164$，$x_3≈1.007$，$x_4≈1.0$，已经非常靠近1了。更严谨一点，我们可以用数学归纳法：假设当$n=k$时，$|x_k -1| < r$（$r$是一个小于1的正数），那么代入递推式可以证明$|x_{k+1}-1| < r' < r$，只要$r$足够小，就能保证序列持续靠近1，不会跑出去。

2. 证明偏差项$y_n$趋近于0：
   当$n$足够大时，$|y_n|$已经很小了，此时$o(y_n^2)$的影响可以忽略，我们可以找到一个常数$C$（比如$C=1$），使得$|y_{n+1}| ≤ C |y_n|^2$。如果$|y_N|=a <1$，那么：

   • $|y_{N+1}| ≤ C a^2$
   • $|y_{N+2}| ≤ C (C a²⁾2 = C^{1+2} a^4$
   • $|y_{N+k}| ≤ C^{2k -1} a^{2k}$
     因为$a<1$，$2^{k$是指数增长的，所以$a}{2^k}$会以极快的速度趋近于0，不管$C$是多少，最终$|y_n|$都会趋近于0，也就是$x_n$趋近于1。

关于你提到的柯西准则，其实平方收敛的序列天然满足柯西条件：对于任意给定的$\varepsilon>0$，我们总能找到一个足够大的$N$，当$n≥N$时，$|y_n|$小到让后续所有偏差的和都小于$\varepsilon$——毕竟每一项的偏差都是前一项的平方，累加起来的和会被一个等比数列（甚至更小的数列）控制，很容易满足柯西的要求。

另外，你说序列没有不动点，这和收敛到1并不矛盾：因为迭代函数$f(x)$在$x=1$处是无定义的（分母为0），所以1并不是迭代的不动点，但它是迭代的吸引点——序列会不断靠近它，只是永远不会正好等于它。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者hamulstdubbins