嘿，咱们一步步来分析这个四次方程到底有多少个实根吧～

首先，先定义函数：
$$f(x)=x^4+4x3+12x^2+7x-3$$

接下来我打算通过求导分析函数的单调性和极值，这是判断实根个数的常用思路哦：

1. 先求一阶导数（判断原函数的单调性）：
   $$f'(x)=4x^3+12x2+24x+7$$

2. 再求二阶导数（判断一阶导数的单调性）：
   $$f''(x)=12x^2+24x+24$$
   把它整理一下：
   $$f''(x)=12(x^2+2x+2)$$
   计算括号里二次式的判别式：$\Delta=2^2-4×1×2=4-8=-4$，判别式小于0，而且二次项系数是正的，所以**$f''(x)$恒大于0**。

这就意味着一阶导数$f'(x)$是个单调递增的函数，而$f'(x)$是三次多项式，当x趋向负无穷时它趋向负无穷，x趋向正无穷时趋向正无穷，所以$f'(x)$必然有且只有一个实根。也就是说，原函数$f(x)$先单调递减，到某个点后开始单调递增，只有一个极小值点。

接下来咱们计算几个关键x值对应的$f(x)$，看看函数值的变化：

• $f(0)=0^4+4×03+12×0^2+7×0-3=-3$，结果是负数；
• $f(1)=1^4+4×13+12×1^2+7×1-3=1+4+12+7-3=21$，结果是正数；
• $f(-1)=(-1)^4+4×(-1)3+12×(-1)^2+7×(-1)-3=1-4+12-7-3=-1$，结果是负数；
• $f(-2)=(-2)^4+4×(-2)3+12×(-2)^2+7×(-2)-3=16-32+48-14-3=15$，结果是正数。

现在结合单调性分析：

• 当x从负无穷到极小值点时，$f(x)$从正无穷递减到极小值，而$f(-2)=15>0$，$f(-1)=-1<0$，说明在区间$(-2,-1)$里，函数从正变负，必然有一个实根；
• 当x从极小值点到正无穷时，$f(x)$从极小值递增到正无穷，$f(0)=-3<0$，$f(1)=21>0$，说明在区间$(0,1)$里，函数从负变正，又有一个实根；
• 而极小值点对应的$f(x)$是负数（因为$f(-1)$和$f(0)$都是负的，且函数在这之间是先减后增的极小值），所以函数不会再有其他实根了。

综上，这个四次方程一共有2个实根。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Someone