嘿，这个问题挺有意思的！咱们来一步步拆解你提到的需求——你想要在3D空间里找一条曲线，让它在任意两个共享同一个坐标轴的平面（比如(x,y)和(z,y)、(z,x)和(y,x)这类）上的投影都是完美的圆，而且得用正弦/余弦函数加常数来构造，对吧？

首先先回忆下平面圆的参数方程核心：两个分量必须是振幅相同、相位差π/2的正弦/余弦函数，比如(x,y)平面上的单位圆可以写成x=cosτ，y=sinτ，本质就是cosτ和cos(τ-π/2)的组合。

接下来咱们分两种情况分析：

一、要求所有共享单变量的双平面投影都是圆——不存在非退化曲线 #

先给你个直接结论：如果要求任意一对共享单变量的平面投影都是圆，那只有一个点能满足，不存在真正意义上的曲线。

为啥这么说？咱们推导下：假设存在这样的曲线，参数方程为x(τ), y(τ), z(τ)，那它得满足：

• (x(τ), y(τ))是圆 → x² + y² = C₁（常数，假设圆心在原点）
• (x(τ), z(τ))是圆 → x² + z² = C₂（常数）
• (y(τ), z(τ))是圆 → y² + z² = C₃（常数）

把前两个式子相减得y² - z² = C₁ - C₂，再和第三个式子联立，能解出y²、z²都是常数，进而x²也是常数——这就意味着x、y、z都是固定值，也就是一个点，根本不是曲线。

二、要求某一对共享单变量的双平面投影都是圆——可构造大量曲线 #

如果只是要求某特定一对共享单变量的平面投影为圆（比如只要求(x,y)和(z,y)的投影是圆），那咱们可以轻松构造出符合要求的曲线，核心思路是构造平行于共享坐标轴的平面上的圆。

通用构造方法（以共享y轴的(x,y)、(z,y)投影为例） #

1. 先确定投影圆的参数：比如两个投影圆的半径都取R，(x,y)投影的圆心在(x₀, y₀)，(z,y)投影的圆心在(z₀, y₀)（因为共享y轴，所以y坐标的圆心一致）。
2. 直接写出参数方程：
   • x(τ) = x₀ + R cosτ
   • y(τ) = y₀ + R sinτ
   • z(τ) = z₀ ± R cosτ

这样构造的曲线：

• 在(x,y)平面的投影是(x₀+R cosτ, y₀+R sinτ)，标准圆；
• 在(z,y)平面的投影是(z₀±R cosτ, y₀+R sinτ)，展开后(z-z₀)² + (y-y₀)² = R²(cos²τ + sin²τ) = R²，也是标准圆。

具体例子 #

比如取圆心都在原点、半径为1，z(τ)取负号，得到：

• x(τ) = cosτ
• y(τ) = sinτ
• z(τ) = -cosτ

这条曲线在(x,y)和(z,y)平面的投影都是单位圆，而且正好对应你提到的那张3D图里的曲线——三个分量是cosτ、sinτ（也就是cos(τ-π/2)）、-cosτ（也就是cos(τ+π)），完全符合相位偏移的正弦类函数组合要求。

扩展到其他共享轴的情况 #

如果要共享x轴（要求(y,x)和(z,x)投影为圆），或者共享z轴（要求(x,z)和(y,z)投影为圆），只需要把参数方程里的变量对应替换就行，核心逻辑完全一致。

总结下：只要你不是要求所有共享单变量的双平面投影都是圆，咱们就能用正弦/余弦函数加常数平移的方式，构造出大量符合要求的3D曲线。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zacharias Andersson