已知实数x、y、z满足方程组：
$$
\begin{align*}
x(x+y+z)&=2-yz\
y(x+y+z)&=4-zx\
z(x+y+z)&=8-xy
\end{align*}
$$
求|x+y+z|的值，选项为(A)2 (B)2.5 (C)3 (D)3.5 (E)4。本题出自滑铁卢大学2009年Small C数学竞赛，正确答案为D，但官网无解答。

我已经推导出等式 3(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 28，但后续不知如何推进，请求帮助。

解题步骤与思路 #

首先，我们设 ( S = x + y + z )（这是处理这类对称方程组的常用技巧），把原方程组的每个方程用 ( S ) 简化：

1. 第一个方程变形为：( xS + yz = 2 )
2. 第二个方程变形为：( yS + zx = 4 )
3. 第三个方程变形为：( zS + xy = 8 )

第一步：得到核心关系式 #

把这三个变形后的等式相加：
[
S(x + y + z) + (xy + yz + zx) = 2 + 4 + 8
]
因为 ( S = x + y + z )，代入后得到：
[
S^2 + (xy + yz + zx) = 14 \tag{1}
]
我们记 ( P = xy + yz + zx )，那么式(1)可以写成 ( S^2 + P = 14 )，也就是 ( P = 14 - S^2 )。

你之前推导的 ( 3S^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 28 ) 是完全正确的，结合平方和公式 ( x^2 + y^2 + z^2 = S^2 - 2P )，代入后会发现和式(1)等价，这说明我们需要找另一个突破点。

第二步：关键变形——得到x²、y²、z²与P的关系 #

回到变形后的方程 ( xS + yz = 2 )，我们可以把 ( yz ) 用 ( P ) 表示：( yz = P - x(y + z) = P - x(S - x) )，代入第一个方程：
[
xS + P - xS + x^2 = 2
]
化简后直接得到：
[
x^2 + P = 2
]
用同样的方法处理第二个和第三个方程，会得到：
[
y^2 + P = 4, \quad z^2 + P = 8
]
这一步是解题的关键！由此我们可以直接写出：
[
x^2 = 2 - P, \quad y^2 = 4 - P, \quad z^2 = 8 - P
]

第三步：结合非负性与选项验证 #

因为 ( x^2、y2、z^2 ) 都是非负实数，所以：

• ( 2 - P \geq 0 \implies P \leq 2 )
• ( 4 - P \geq 0 \implies P \leq 4 )
• ( 8 - P \geq 0 \implies P \leq 8 )
  综合得 ( P \leq 2 )，结合 ( P = 14 - S^2 )，可得 ( 14 - S^2 \leq 2 \implies S^2 \geq 12 )。

现在看选项：

• A选项：( |S|=2 \implies S^2=4 <12 )，不符合
• B选项：( |S|=2.5 \implies S^2=6.25 <12 )，不符合
• C选项：( |S|=3 \implies S^2=9 <12 )，不符合
• D选项：( |S|=3.5 \implies S^2=12.25 \geq12 )，符合条件
• E选项：( |S|=4 \implies S^2=16 )，我们可以验证一下，但先看D选项是否成立

代入 ( S=3.5=\frac{7}{2} )，则 ( S^2=\frac{49}{4} )，( P=14 - \frac{49}{4}=\frac{7}{4} )：

• ( x^2=2 - \frac{7}{4}=\frac{1}{4} \implies x=\pm\frac{1}{2} )
• ( y^2=4 - \frac{7}{4}=\frac{9}{4} \implies y=\pm\frac{3}{2} )
• ( z^2=8 - \frac{7}{4}=\frac{25}{4} \implies z=\pm\frac{5}{2} )

现在找满足 ( x+y+z=\frac{7}{2} ) 的组合：取 ( x=-\frac{1}{2} )，( y=\frac{3}{2} )，( z=\frac{5}{2} )，相加得 ( -\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=\frac{7}{2} )，完美符合！

代入原方程组验证：

1. ( xS=-\frac{1}{2} \times \frac{7}{2}=-\frac{7}{4} )，( 2-yz=2 - (\frac{3}{2} \times \frac{5}{2})=2-\frac{15}{4}=-\frac{7}{4} )，相等
2. ( yS=\frac{3}{2} \times \frac{7}{2}=\frac{21}{4} )，( 4-zx=4 - (\frac{5}{2} \times -\frac{1}{2})=4+\frac{5}{4}=\frac{21}{4} )，相等
3. ( zS=\frac{5}{2} \times \frac{7}{2}=\frac{35}{4} )，( 8-xy=8 - (-\frac{1}{2} \times \frac{3}{2})=8+\frac{3}{4}=\frac{35}{4} )，相等

完全符合原方程组，所以 ( |x+y+z|=3.5 )，对应选项D。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者David McNamee