让我一步步帮你拆解这两个问题，先从子群的交换性说起：

首先，这个子群里的任意元素都可以表示为生成元的幂次乘积，也就是形如$(xN)^a (yN)^b$，其中$a, b$是任意整数（正、负或零）。要证明子群内元素两两可交换，只需要证明任意两个这样的元素相乘时，交换顺序结果不变。

我们先利用正规子群$N$的生成元给出的关键关系：

• 因为$xyx^{-1}y{-1} \in N$，所以$xyx^{-1}y{-1}N = N$（商群的单位元）。两边同时右乘$yN$再右乘$xN$，就能得到$xyN = yxN$，也就是**$(xN)(yN) = (yN)(xN)$**——这说明生成元$xN$和$yN$本身是可交换的。

既然两个生成元可交换，那么它们的任意幂次组合也必然可交换：

• 比如$(xN)^a$和$(yN)b$可交换，因为$(xN)^a(yN)b = \underbrace{(xN)(xN)\dots(xN)}{a次} \cdot \underbrace{(yN)(yN)\dots(yN)}{b次}$，利用生成元的交换性，可以把所有$(xN)$移到右边，得到$\underbrace{(yN)\dots(yN)}{b次} \cdot \underbrace{(xN)\dots(xN)}{a次} = (yN)^b(xN)a$。
• 再看任意两个子群元素$(xN)^a(yN)b$和$(xN)^c(yN)d$，相乘时：
  $$
  (xN)^a(yN)b \cdot (xN)^c(yN)d = (xN)^a \cdot (yN)^b(xN)c \cdot (yN)^d = (xN)^a(xN)c \cdot (yN)^b(yN)d = (xN)^{a+c}(yN){b+d}
  $$
  交换顺序相乘的结果也是一样的：
  $$
  (xN)^c(yN)d \cdot (xN)^a(yN)b = (xN)^c(xN)a \cdot (yN)^d(yN)b = (xN)^{c+a}(yN){d+b}
  $$
  因为整数加法满足交换律，所以这两个结果相等，也就证明了子群内任意元素两两可交换。

首先回忆自由群$F_2$的性质：它的每个元素都是$x, y$及其逆元的有限乘积，比如$w = x^{k_1}y{m_1}x^{k_2}y{m_2}\dots x^{k_n}y{m_n}$，其中$k_i, m_i$是任意整数（正、负或零）。那么商群$F_2/N$中的元素$wN$就可以写成：
$$
wN = (xN)^{k_1}(yN){m_1}(xN)^{k_2}(yN){m_2}\dots(xN)^{k_n}(yN){m_n}
$$

而我们已经在问题1中证明了$xN$和$yN$可交换，所以可以把所有$(xN)$的幂次合并到左边，所有$(yN)$的幂次合并到右边，也就是：
$$
wN = (xN)^{k_1+k_2+\dots+k_n} (yN)^{m_1+m_2+\dots+m_n}
$$
这意味着整个商群$F_2/N$中的每个元素都可以表示为$(xN)^a(yN)b$的形式（$a, b$为整数）。

既然整个群的元素都是这种形式，而我们已经证明了任意两个这种形式的元素可交换（问题1的结论），那么自然整个群$F_2/N$中的元素两两可交换。

简单来说，这里的核心是正规子群$N$包含了$x$和$y$的换位子$xyx^{-1}y{-1}$，这相当于在商群里强制让$x$和$y$的等价类交换，进而让整个商群变成交换群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user557