求证：严格递增连续且某点二阶可导的函数在该点邻域一阶连续可导

阿华AIGC实验室

2026-5-19

关于严格递增连续函数的一阶连续可导性证明分析

嘿，这个问题我得先跟你掰扯清楚——其实你的讲师提出的命题并不成立，存在满足所有条件但结论不成立的反例，不过我们可以先拆解已知条件，看看严格递增这个假设到底能起到什么作用，再聊聊反例的构造。

先明确已知条件的推论

首先理清楚基础逻辑：

因为$f$在$x$点二阶可导，根据二阶导数的定义，$f'$必须在$x$的某个邻域内有定义（也就是说$f$在这个邻域内已经是一阶可导的了），而且$f'$在$x$点可导，这直接推出$f'$在$x$点连续（可导必连续）。
$f$是严格递增的连续函数，所以对任意$t$在邻域内，$f'(t) \geq 0$（单调函数的导数非负），又因为$f'(x) \neq 0$，所以$f'(x) > 0$。结合$f'$在$x$点的连续性，我们能找到一个$\delta > 0$，使得当$t \in (x-\delta, x+\delta)$时，$f'(t) > 0$——这就是严格递增假设的核心作用：保证$x$附近的导数都是正的，不会出现导数为0或负的情况，但这还不足以让$f'$在邻域内连续。

我们可以构造这样一个函数：
$$
f(x) =
\begin{cases}
x + \int_0^x t^2 \sin\left(\frac{1}{t}\right)dt, & x \neq 0 \
0, & x = 0
\end{cases}
$$
验证它满足所有条件：

严格递增且连续：$f$是连续的（积分函数连续，加上$x$自然连续）；求导得$f'(x) = 1 + x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$（$x \neq 0$），$f'(0) = 1$。当$|x| < 1$时，$x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \geq -x^2 > -1$，所以$f'(x) > 0$，因此$f$在$(-1,1)$内严格递增。
在$x=0$处二阶可导且$f'(0) \neq 0$：计算二阶导数$f''(0)$：
$$
f''(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(h) - f'(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0
$$
显然$f'(0)=1 \neq 0$，满足条件。
$f'$在$0$的邻域内不连续：当$x \to 0$时，$x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$在$-x^2$到$x2$之间振荡，极限不存在，所以$\lim_{x \to 0} f'(x)$不存在，$f'$在$0$点不连续，自然在$0$的邻域内也不是连续的。