作为同样纠结物理定律背后严谨逻辑的人，我太懂你这种“不想把定律当黑箱”的心态了！毕竟数学专业出身，总希望每一步都有推导依据，而不是直接接受“这就是事实”。下面就把库仑定律的实验来源和推导逻辑掰扯清楚：

库仑定律的关键实验支撑主要来自两个经典实验：

• 库仑扭秤实验（1785年）
  库仑设计了一个精巧的扭秤：把一个带电小球挂在细金属丝下，旁边放另一个固定的带电小球。当两个小球带电后，它们之间的静电力会使金属丝扭转。通过测量扭转角度（利用金属丝的扭转力矩和静电力平衡的关系），就能算出静电力的大小。
  他用控制变量法做了两组核心实验：

  1. 保持两个小球的电荷量不变，改变它们之间的距离，发现静电力的大小和距离的平方成反比（F ∝ 1/r²）；
  2. 保持距离不变，通过接触带电小球的方式改变电荷量（比如让带电小球和相同的不带电小球接触，电荷量就减半），发现静电力和两个小球电荷量的乘积成正比（F ∝ q₁q₂）。

• 卡文迪许的“隐秘”电力实验（1773年，比库仑更早，但未公开）
  卡文迪许其实也用类似扭秤的装置测了电力的平方反比关系，他的实验精度甚至比库仑更高——测出平方反比的指数偏差不超过0.02，而库仑的实验误差大概是0.05。只不过他当时更关注万有引力，这个实验结果直到几十年后才被麦克斯韦整理公开。

从实验到定律的过程，本质是物理归纳+数学建模的结合，完全符合你追求的严谨性：

1. 实验观测的比例关系
   通过控制变量实验，我们得到两个独立的比例结论：
   F ∝ q₁q₂（距离固定时）
   F ∝ 1/r²（电荷量固定时）
   把这两个比例式结合，就能得到F ∝ q₁q₂/r²。

2. 引入比例常数形成等式
   为了把比例关系变成可计算的等式，我们引入一个比例常数k（也就是后来的库仑常数，现在通常写成1/(4πε₀)，其中ε₀是真空介电常数），于是就得到了库仑定律的标准形式：
   F = k * (q₁q₂)/r²

3. 后续实验的精确验证
   后来的无数实验（包括现代的高精度实验）都验证了平方反比关系的准确性——目前测得的指数是2 ± 10^-16，误差极小，所以在宏观电磁学的范畴内，我们可以认为这是严格的平方反比定律。

4. 为什么它被当作“公理”？
   这里要区分数学公理和物理定律：数学公理是无需证明的逻辑起点，但物理中的“公理”其实是经过大量实验验证、没有反例的归纳结论。库仑定律是电磁学的实验基础之一，就像牛顿三大定律一样，它不是从更基础的定理推导出来的，而是构建整个电磁学理论的“基石”（当然后来麦克斯韦方程组可以涵盖库仑定律，但麦克斯韦方程组本身也是基于库仑定律、安培定律等实验定律建立的）。

如果你还想深入了解实验中的数学细节（比如扭秤的力矩平衡计算、卡文迪许实验的误差分析），或者想探讨平方反比关系和高斯定理的联系，随时可以接着聊！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kash