嘿，这个问题问得特别到位！刚好有个经典的例子能完美契合你的要求——Volterra函数的导函数，我来给你一步步拆解清楚：

1. 先搞懂Volterra函数$V(x)$的构造 #

咱们先从构造它的原函数$V(x)$入手，这个函数的设计刚好能让它的导数满足你的所有条件：

• 第一步：构造一个胖康托尔集$P\subset[0,1]$：
  从闭区间$[0,1]$开始，第一次挖掉中间长度为$\frac{1}{4}$的开区间$\left(\frac{3}{8},\frac{5}{8}\right)$；第二次在剩下的两个闭区间$\left[0,\frac{3}{8}\right]$和$\left[\frac{5}{8},1\right]$里，各挖掉中间长度为$\frac{1}{16}$的开区间；以此类推，每次挖掉的区间总长度是前一次的$\frac{1}{2}$。最后剩下的集合$P$就是一个测度为$\frac{1}{2}$的康托尔型集——它是闭集、没有内点，但测度大于0（这是和经典康托尔集的核心区别）。
• 第二步：给每个被挖掉的开区间$I_n=(a_n,b_n)$，定义一个光滑的“尖峰”函数$\varphi_n(x)$：
  要求$\varphi_n(a_n)=\varphi_n(b_n)=0$，$\varphi_n'(a_n)=\varphi_n'(b_n)=0$，在$I_n$内部$\varphi_n(x)$取正值，并且它的导数的绝对值$|\varphi_n'(x)|\leq1$。
• 第三步：定义Volterra函数$V(x)$：
  当$x\in P$时，$V(x)=0$；当$x$落在某个被挖掉的区间$I_n$里时，$V(x)=\varphi_n(x)$。这个$V(x)$在$[0,1]$上是处处可导的！

2. 导函数$f(x)=V'(x)$的关键性质 #

现在看这个导函数$f(x)$，它完全满足你的要求：

• 有界性：对所有$x\in[0,1]$，$|f(x)|\leq1$，显然是有界函数。
• 存在原函数：$V(x)$就是它的原函数，因为对每一个$x\in[0,1]$，都有$V'(x)=f(x)$成立。
• 黎曼不可积：根据黎曼可积的勒贝格准则，一个函数在闭区间上黎曼可积的充要条件是它的不连续点集是零测集。而$f(x)$的不连续点恰好就是咱们构造的胖康托尔集$P$，$P$的测度是$\frac{1}{2}>0$，所以$f(x)$在$[0,1]$上不具备黎曼可积性。

简单总结一下：这个$f(x)$是有界的，有原函数$V(x)$，但因为不连续点的测度不为零，所以无法在$[0,1]$上做黎曼积分，完美匹配你提出的所有条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sanderi