没问题，我来一步步帮你把这个推导过程补全～

首先，我们已经从线性相关的定义出发，写出了方程：

$c_1y_1+c_2y_2+c_3y_3=0 \rightarrow c_1(x_1+x_2)+c_2(x_1+x_3)+c_3(x_2+x_3)=0$

接下来我们需要整理这个方程，把相同向量的系数合并：
把式子展开后重新分组：
$$(c_1 + c_2)x_1 + (c_1 + c_3)x_2 + (c_2 + c_3)x_3 = 0$$

现在关键的点来了：题目里明确说$M=\langle x_1,x_2,x_3\rangle$是线性无关的向量组。根据线性无关的定义，只有当所有向量的系数都为0时，它们的线性组合才会等于零向量。所以我们可以得到一个关于$c_1,c_2,c_3$的线性方程组：

• $c_1 + c_2 = 0$
• $c_1 + c_3 = 0$
• $c_2 + c_3 = 0$

接下来解这个方程组：

1. 从第一个方程得到 $c_2 = -c_1$
2. 把$c_2=-c_1$代入第二个方程，得到 $c_1 + c_3 = 0 \Rightarrow c_3 = -c_1$
3. 再把$c_2=-c_1$和$c_3=-c_1$代入第三个方程：$(-c_1) + (-c_1) = 0 \Rightarrow -2c_1=0$，所以$c_1=0$
4. 最后代入回去，得到$c_2=0$，$c_3=0$

这说明只有当$c_1=c_2=c_3=0$时，原来的线性组合才会等于零向量，完全符合线性无关的定义，所以向量组$N=\langle y_1,y_2,y_3\rangle$是线性无关的。

另外，如果你熟悉矩阵行列式的话，也可以用更快捷的方法验证：
把$y_1,y_2,y_3$用$x_1,x_2,x_3$表示的系数写成矩阵：

1 1 0
1 0 1
0 1 1

计算这个矩阵的行列式：$1\times(0\times1 - 1\times1) - 1\times(1\times1 - 1\times0) + 0\times(1\times1 - 0\times0) = -1 -1 = -2 \neq 0$
行列式不为0说明这个系数矩阵可逆，所以向量组$N$和$M$是等价的，自然也线性无关。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nova_star