嘿，这个问题我刚好熟，咱们把它掰扯清楚！首先得明确两个矩阵的作用逻辑，再对应每个元素的位置，你担心的缩放变量其实已经藏在你的3x3矩阵里了，别急～

先理清3x3仿射矩阵的结构 #

首先默认你用的是2D齐次坐标下的仿射矩阵（这是最常见的情况），你的3x3矩阵 M 结构是：

[ a  b  c ]
[ d  e  f ]
[ g  h  i ]

这里的元素分工是：

• 左上角2x2区域（a,b,d,e）：负责线性变换——包含旋转、缩放、剪切所有你需要的缩放逻辑，你的sz变量其实已经包含在这些值里了（比如X方向缩放2的话，a=2；Y方向缩放3的话，e=3）
• 第三列的前两个元素（c,f）：负责XY方向的平移（如果你的矩阵是列向量左乘的形式，也就是用矩阵乘[x,y,1]^T来变换点）
• 最后一行（g,h,i）：通常是[0,0,1]，i是齐次因子，保证平移能通过矩阵乘法实现，非1的话会是全局缩放因子

对应到4x4变换矩阵的位置 #

标准的3D 4x4变换矩阵（列向量左乘）结构是：

[ R00 R01 R02 Tx ]
[ R10 R11 R12 Ty ]
[ R20 R21 R22 Tz ]
[  0   0   0   1 ]

其中左上角3x3是线性变换（旋转+缩放），第四列是平移，最后一行是齐次坐标的固定项。

把你的3x3矩阵转成这个4x4矩阵，本质是把2D变换嵌入到3D的XY平面，让Z轴保持不变，对应关系如下：

1. 线性变换区域（4x4左上角3x3）：

   • 第一行前3个位置：a, b, 0（2D变换不影响Z轴，所以Z方向的线性项填0）
   • 第二行前3个位置：d, e, 0
   • 第三行前3个位置：0, 0, 1（Z轴保持原坐标，既不旋转也不缩放）
     这里你的缩放逻辑完全保留在a,b,d,e里，根本不需要额外的sz变量～

2. 平移区域（4x4第四列）：

   • 第一行第四列：c（X方向平移）
   • 第二行第四列：f（Y方向平移）
   • 第三行第四列：0（2D变换不涉及Z方向平移，填0即可）

3. 最后一行：
   前三个位置填0，最后一个位置填原3x3矩阵的i值（通常是1，如果原矩阵i不是1，那它是全局缩放因子，保留即可）

最终转换后的4x4矩阵长这样：

[ a  b  0  c ]
[ d  e  0  f ]
[ 0  0  1  0 ]
[ 0  0  0  i ]

举个实际例子验证 #

比如你有一个2D变换：X缩放2，Y缩放3，平移(5,6)，对应的3x3矩阵是：

[2 0 5]
[0 3 6]
[0 0 1]

按照上面的规则转换后，4x4矩阵是：

[2 0 0 5]
[0 3 0 6]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

这个矩阵在3D空间里对XY平面的点变换，效果和原2D仿射完全一致，缩放因子完美保留，没有任何丢失～

如果你的3x3矩阵是行向量右乘的形式（也就是[x,y,1]*M），那平移分量是第三行的g,h，对应的4x4第四列就是g,h,0，其他位置的对应逻辑不变。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ewizard