嘿，这个问题的答案很明确：不存在这样的整数m和n。下面我会用超越数论的核心结论，一步步给你讲清楚为什么。

先搞懂关键前提：e和π都是超越数 #

首先得明确两个已经被数学界严格证明的核心结论：

• 自然对数的底数 ( e \approx 2.71828 ) 是超越数（1873年由Hermite证明）
• 圆周率 ( \pi \approx 3.14159 ) 是超越数（1882年由Lindemann证明）

所谓超越数，简单来说就是没法通过有限次代数运算（加减乘除、开方）从整数构造出来的数——它不能成为任何非零整系数多项式方程的根。

用反证法推导矛盾 #

咱们假设存在整数 ( m, n ) 使得 ( e = m\pi + n )，分两种情况讨论：

情况1：( m = 0 ) #

这时候等式直接简化为 ( e = n )，但 ( e ) 是无理数，而 ( n ) 是整数，显然不可能成立，直接排除这种情况。

情况2：( m \neq 0 ) #

把等式变形一下，得到：
[
\pi = \frac{e - n}{m}
]
因为 ( m、n ) 是整数且 ( m \neq 0 )，所以 ( \frac{1}{m} ) 和 ( -\frac{n}{m} ) 都是有理数——这意味着 ( \pi ) 可以表示为 ( e ) 的有理线性组合（即 ( \pi = p e + q )，其中 ( p、q ) 是有理数，且 ( p \neq 0 )）。

接下来用Lindemann-Weierstrass定理的推论来戳破这个假设：

这个定理的核心结论之一：如果 ( \alpha ) 是非零代数数，那么 ( e^\alpha ) 是超越数；反过来，如果 ( e^\alpha ) 是代数数，那么 ( \alpha ) 只能是0。

咱们都知道欧拉公式 ( e^{i\pi} = -1 )，这里的 ( -1 ) 是代数数。把刚才得到的 ( \pi = \frac{e - n}{m} ) 代入欧拉公式：
[
e^{i \cdot \frac{e - n}{m}} = -1
]
两边同时取 ( m ) 次方，得到：
[
e^{i(e - n)} = (-1)^m
]
把左边展开：
[
e^{i e} \cdot e^{-i n} = (-1)^m
]
这里 ( e^{-i n} = \cos(n) - i\sin(n) )，因为 ( n ) 是整数，( \cos(n) ) 和 ( \sin(n) ) 都是代数数，所以 ( e^{-i n} ) 是代数数；而 ( (-1)^m ) 不是1就是-1，也是代数数。

整理等式可得：
[
e^{i e} = \frac{(-1)^m}{e{-i n}}
]
右边是两个代数数的商，结果还是代数数。但左边的 ( e^{i e} ) 中，指数 ( i e ) 是超越数（因为 ( i ) 是代数数，( e ) 是超越数，代数数乘超越数仍为超越数）。根据Lindemann-Weierstrass定理的推广，当指数是超越数时，( e^\text{超越数} ) 必然是超越数，不可能是代数数——这就和右边的代数数结论矛盾了。

另外还有个更直接的结论：( e ) 和 ( \pi ) 是代数无关的，也就是说不存在任何非零的整系数多项式 ( P(x,y) )，能让 ( P(e, \pi) = 0 )。而 ( e - m\pi - n = 0 ) 就是一个非平凡的整系数线性多项式方程，这直接违背了代数无关性的结论。

总结 #

不管 ( m ) 是0还是非零整数，假设都会导出矛盾，因此不存在整数 ( m ) 和 ( n ) 满足 ( e = m\pi + n )。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J-J