先把你的问题背景贴出来：

今日课堂上我讲授了一种求解两平面交点的方法，但结果却得到一个平面，全班无人能找出原因。现将涉及的两个平面整理如下：
$$
\newcommand{\tvect}[3]{%
{\Bigl(\negthinspace\begin{smallmatrix}#1\#2\#3\end{smallmatrix}\Bigr)}}
\Pi_1: \vec{r} \cdot \tvect{2}{3}{4} = 4 \rightarrow \vec{r} \cdot \tvect{1/2}{3/4}{1} = 1
$$
$$
\Pi_2: \vec{r} \cdot \tvect{4}{5}{2} = 3 \rightarrow \vec{r} \cdot ...
$$

首先给你吃个定心丸：这两个平面绝对不是平行或重合的——咱们看它们的法向量，$\vec{n_1} = \tvect{2}{3}{4}$ 和 $\vec{n_2} = \tvect{4}{5}{2}$，叉乘一下得到 $\tvect{-14}{12}{-2}$，不是零向量，说明它们的交线必然是一条直线，不可能是平面。问题肯定出在求解过程的逻辑错误上，我帮你列几个最容易踩的坑：

常见错误点1：误把平面的线性组合当成交线 #

你可能在计算时把两个平面方程直接相加/相减，得到了一个新的平面方程，但这个新平面只是包含交线的无数平面之一，不是交线本身。交线的本质是两个平面的交集，必须用联立的两个平面方程来表示，或者转化为参数方程形式，单独一个平面方程肯定不对。

常见错误点2：标准化处理时丢了约束 #

你把Π₁的方程两边除以4得到 $\vec{r} \cdot \tvect{1/2}{3/4}{1} = 1$，这个操作本身没问题，但如果后续计算时只盯着这个标准化后的方程，忘了Π₂的约束，那可不就得到原平面Π₁了嘛——这完全不是交线。

常见错误点3：向量运算失误 #

比如计算法向量叉乘时算错了，误以为法向量平行，进而错误判断两个平面重合，最后得出“交线是平面”的结论。咱们刚才算的叉乘结果不是零向量，所以这种情况可以排除，但也是学生常犯的错。

给你个正确的求解示例 #

咱们用参数方程来求交线，步骤很清晰：

1. 找交线上的一个点：令 $z=0$，代入两个平面方程：
   $$
   \begin{cases}
   2x + 3y = 4 \
   4x + 5y = 3
   \end{cases}
   $$
   解出来 $y=5$，$x=-\frac{11}{2}$，所以点 $P(-\frac{11}{2}, 5, 0)$ 肯定在交线上。
2. 找交线的方向向量：就是两个法向量的叉乘 $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \tvect{-14}{12}{-2}$，简化成 $\tvect{7}{-6}{1}$ 也行。
3. 写出参数方程：
   $$
   \vec{r} = \tvect{-\frac{11}{2}}{5}{0} + t\tvect{7}{-6}{1}, \quad t \in \mathbb{R}
   $$
   或者直接用联立的平面方程 $\begin{cases} 2x+3y+4z=4 \ 4x+5y+2z=3 \end{cases}$ 表示交线，这两种都是正确的，绝对不会出现“平面”的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ronikos