首先，我们可以用你已经掌握的代数操作来拆解这个问题，一步步推导：

步骤1：变形方程，利用连续整数的性质 #

原方程可以改写为：
$$x(x-1) = y^3$$
这里要注意一个关键的基础性质：$x$ 和 $x-1$ 是连续整数，它们除了1以外没有其他共同因数（也就是互质）——比如2和3、-1和0，你随便举例子验证一下就能明白这个规律。

步骤2：结合立方数的特点分析 #

如果两个互质的整数相乘等于一个立方数，那么这两个整数各自必须是立方数（或者负的立方数，毕竟我们要考虑所有整数解）。原因很简单：立方数的质因数分解里，每个质数的次数都是3的倍数，而互质的两个数没有共同质因数，所以每个数的质因数次数都得是3的倍数，自然就是立方数了。

我们分两种核心情况讨论：

情况1：两个数都是正立方数 #

设 $x = a^3$，$x-1 = b^3$（$a$、$b$ 是整数），两式相减得：
$$a^3 - b^3 = 1$$
这里用到一个简单的因式分解公式（你可以展开右边验证：$(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$），代入后：
$$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 1$$
整数相乘等于1，只有两种可能：

• $a - b = 1$ 且 $a^2 + ab + b^2 = 1$
  把 $a = b + 1$ 代入第二个式子：
  $$(b+1)^2 + (b+1)b + b^2 = 1$$
  展开计算：
  $$b^2 + 2b + 1 + b^2 + b + b^2 = 1 \implies 3b^2 + 3b = 0 \implies 3b(b+1) = 0$$
  解得 $b=0$ 或 $b=-1$：
  • $b=0$ 时，$a=1$，代入得 $x=1^3=1$，$y3=1 \times 0=0$，所以 $y=0$
  • $b=-1$ 时，$a=0$，代入得 $x=0^3=0$，$y3=0 \times (-1)=0$，所以 $y=0$
• $a - b = -1$ 且 $a^2 + ab + b^2 = -1$
  左边的 $a^2 + ab + b^2$ 可以变形为 $\left(a+\frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4}$——这是两个非负数相加，结果不可能是负数，所以这个情况直接无解。

情况2：两个数都是负立方数 #

设 $x = -a^3$，$x-1 = -b^3$（$a$、$b$ 是整数），两式相减得：
$$-a^3 - (-b^3) = 1 \implies b^3 - a^3 = 1$$
推导过程和情况1完全一致，最终得到的解还是 $x=0,y=0$ 和 $x=1,y=0$，和之前的结果重复了。

步骤3：验证是否存在其他解 #

我们可以试几个整数来确认：

• 若 $y=1$，代入方程得 $x^2 -x -1=0$，解是无理数，不是整数；
• 若 $y=-1$，方程变成 $x^2 -x +1=0$，没有实数解，更别说整数解；
• 尝试 $x=2$，左边是 $4-2=2$，不是立方数；$x=-1$，左边是 $1 - (-1)=2$，也不是立方数。

所有尝试都找不到新的整数解。

最终结论 #

这个丢番图方程的所有整数解是：

• $x=0, y=0$
• $x=1, y=0$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者568075260