1. 确定点G的位置 #

首先得明确点G的几何定义——毕竟在两圆相交的构型里，它可能对应不同的特征点，下面列出两种常见情况的定位方法：

• 如果G是两圆圆心连线AB的中点：
  因为A(x₁,0)、B(x₂,0)都在x轴上，直接计算中点坐标即可：G((x₁+x₂)/2, 0)。你可以在坐标系里标记出A、B两点，然后取线段AB的中点，这就是G的位置。
• 如果G是两圆的根心（公共弦CD与AB的交点）：
  按以下步骤操作：
  1. 写出圆A和圆B的标准方程：
     • 圆A：(x - x₁)² + y² = r₁²
     • 圆B：(x - x₂)² + y² = r₂²
  2. 将两个圆的方程相减，消去y²项，得到公共弦CD的直线方程：
     2(x₂ - x₁)x + x₁² - x₂² = r₁² - r₂²
     整理后可解出x的取值：x_G = (r₁² - r₂² + x₂² - x₁²)/(2(x₂ - x₁))
     因为AB在x轴上（y=0），所以G的坐标就是(x_G, 0)，在坐标系里找到这个x值对应的点，就是根心G的位置。

2. 计算线段CG的长度 #

我们分两种场景来计算，对应上面G的两种常见定义：

场景一：G是AB的中点 #

1. 先求交点C的坐标：
   联立圆A和圆B的方程，代入公共弦的x表达式到圆A方程中，解出y值，得到C的坐标(x_C, y_C)（两个交点任选其一，长度结果一致）。
2. 用两点间距离公式计算：
   因为G的坐标是((x₁+x₂)/2, 0)，所以：
   CG = √[(x_C - (x₁+x₂)/2)² + y_C²]

场景二：G是两圆的根心 #

这种情况有更简便的计算方式，不需要求C的坐标：
在圆A中，AC是半径r₁，AG是圆心A到根心G的距离|x_G - x₁|，而CG是直角三角形AGC的直角边（因为公共弦CD垂直于圆心连线AB），所以用勾股定理直接可得：
CG = √(r₁² - (x_G - x₁)²)
把之前求出的x_G代入这个式子，就能算出CG的长度。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ahmed arif Hasan