先明确下函数定义：我们要分析的函数是 $f(x) = \left { x \right } \cdot \left { -x \right }$，这里的 $\left { x \right }$ 是小数部分函数，定义为 $\left { x \right }=x-[x]$，其中 $[x]$ 是取整函数（也就是高斯函数，取不大于$x$的最大整数）。

第一步：化简函数表达式 #

先把函数展开化简，方便后续计算极限：
$$
\begin{align*}
f(x) &= \left { x \right } \cdot \left { -x \right } \
&=(x-[x])\cdot(-x+[x]) \
&=-(x-[x])^2 \
&=-x^2-[x]2+2x[x]
\end{align*}
$$

第二步：计算整数点处的单侧极限 #

取整函数$[x]$在整数点处是跳跃的，所以重点分析所有整数$n\in \mathbb{Z}$处的极限：

• 当$x$从右侧趋近于$n$（即$x\rightarrow n^{+}$）时，$x$落在$(n, n+1)$区间内，此时$[x]=n$，代入化简后的表达式：
  $$\lim_{x\rightarrow n^{+}}f(x) = \lim_{x\rightarrow n^{+}}(-x2-n^2+2x\cdot n) = -n^2$$
• 当$x$从左侧趋近于$n$（即$x\rightarrow n^{-}$）时，$x$落在$(n-1, n)$区间内，此时$[x]=n-1$，代入计算：
  $$\lim_{x\rightarrow n^{-}}f(x) = \lim_{x\rightarrow n^{-}}(-x2-(n-1)^2+2x\cdot (n-1)) = -(n-1)^2$$

第三步：判断连续性与间断点类型 #

对比同一个整数点$n$处的左右极限，两者的差值为：
$$s = \lim_{x\rightarrow n^{+}}f(x) - \lim_{x\rightarrow n^{-}}f(x) = -n^2 + (n-1)^2 = 1-2n$$
显然对于任何整数$n$，这个差值都不等于0，说明左右极限不相等。

而在非整数点处，$[x]$是固定常数（等于该点所在区间的整数部分），此时$f(x)$是关于$x$的多项式函数，自然是连续的。

结论：

• 函数$f(x)$在所有非整数点处连续；
• 所有整数点$n\in \mathbb{Z}$都是函数的第一类间断点（跳跃间断点），因为这些点处左右极限都存在但不相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anne