嘿，我来帮你理清这个问题的思路，咱们不用搞太复杂的矩阵计算，先从向量空间基的性质入手～

首先，$P_2$是所有次数不超过2的多项式构成的3维向量空间。要分析线性变换$T$的核和像，第一步先看题目给的$p_1,p_2,p_3$是不是$P_2$的一组基：

第一步：验证$p_1,p_2,p_3$是$P_2$的基 #

把每个多项式对应到标准基${x^2,x,1}$下的坐标向量：

• $p_1=-4x^2-x-4$ → $\mathbf{v_1}=\begin{bmatrix}-4\-1\-4\end{bmatrix}$
• $p_2=-3x^2-4x-5$ → $\mathbf{v_2}=\begin{bmatrix}-3\-4\-5\end{bmatrix}$
• $p_3=-x^2+x-5$ → $\mathbf{v_3}=\begin{bmatrix}-1\1\-5\end{bmatrix}$

把这三个向量拼成矩阵$V=\begin{bmatrix}-4&-3&-1\-1&-4&1\-4&-5&-5\end{bmatrix}$，计算它的行列式：
$\det(V)=-4\times[(-4)(-5)-1\times(-5)] +3\times[(-1)(-5)-1\times(-4)] -1\times[(-1)(-5)-(-4)(-4)]$
$=-4\times25 +3\times9 -1\times(-11)=-100+27+11=-62≠0$

行列式不为0，说明$V$可逆，也就意味着$\mathbf{v_1,v_2,v_3}$线性无关，对应到多项式就是$p_1,p_2,p_3$线性无关。而$P_2$是3维空间，所以这三个多项式是$P_2$的一组基。

第二步：分析$T$的像空间$\text{Im}(T)$ #

既然$p_1,p_2,p_3$是基，那么$T$的像空间就是由$T(p_1),T(p_2),T(p_3)$张成的空间。同样把这三个像多项式对应到坐标向量：

• $T(p_1)=5x^2+2x-9$ → $\mathbf{w_1}=\begin{bmatrix}5\2\-9\end{bmatrix}$
• $T(p_2)=-5x^2+x$ → $\mathbf{w_2}=\begin{bmatrix}-5\1\0\end{bmatrix}$
• $T(p_3)=-2x^2+x-4$ → $\mathbf{w_3}=\begin{bmatrix}-2\1\-4\end{bmatrix}$

拼成矩阵$W=\begin{bmatrix}5&-5&-2\2&1&1\-9&0&-4\end{bmatrix}$，计算行列式：
$\det(W)=5\times(1\times(-4)-1\times0)+5\times(2\times(-4)-1\times(-9))-2\times(2\times0-1\times(-9))$
$=5\times(-4)+5\times(-8+9)-2\times9=-20+5-18=-33≠0$

行列式不为0，说明$\mathbf{w_1,w_2,w_3}$线性无关，对应多项式$T(p_1),T(p_2),T(p_3)$也线性无关。三个线性无关的多项式张成3维空间$P_2$，所以$\text{Im}(T)=P_2$。

那像空间的基就可以直接取${T(p_1),T(p_2),T(p_3)}$，也就是：
${5x^{2+2x-9, -5x}2+x,\ -2x^2+x-4}$
当然你也可以取更熟悉的标准基${1,x,x^2}$，因为它们都张成整个$P_2$。

第三步：分析$T$的核$\ker(T)$ #

核是所有满足$T(p)=0$的多项式$p\in P_2$。因为$T$把一组基映射到另一组基，说明$T$是可逆线性变换（可逆变换的充要条件是它把基映射到基）。可逆变换的核只能是零空间，也就是只有零多项式$0\in P_2$满足$T(0)=0$。

所以$\ker(T)={0}$，由于零空间没有非零向量，不存在线性无关的非零向量组来张成它，所以核没有基（或者说基是空集）。

总结一下：

• 核$\ker(T)$：仅包含零多项式，无基
• 像$\text{Im}(T)$：整个$P_2$，基可以取${5x^{2+2x-9, -5x}2+x,\ -2x^{2+x-4}$或标准基${1,x,x}2}$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user111434