带摩擦小物体沿斜面滑落时，无摩擦斜面的水平加速度求解
2026-5-19
带摩擦斜面上小物体与大斜面的加速度求解
先把已知条件列出来，方便后续计算：
- 小物体质量：
m = 5kg - 大斜面质量：
M = 8kg - 斜面倾角：
α = π/4（即45°，sinα=cosα=√2/2≈0.7071，tanα=1） - 滑动摩擦系数：
μ = 0.2 - 题目给出的正确加速度绝对值：
a = 2m/s²
第一步：受力分析与坐标系设定
我们以地面为惯性参考系，设定x轴水平向右，y轴竖直向上：
小物体m的受力：
- 重力：
mg，竖直向下 - 斜面的支持力：
N，垂直斜面向上 - 滑动摩擦力：
f = μN，沿斜面向上（因为m相对斜面向下滑）
大斜面M的受力：
- 重力：
Mg，竖直向下 - 地面的支持力：
N地，竖直向上 - 小物体的压力：
N'，垂直斜面向下（与N大小相等，方向相反） - 小物体的摩擦力：
f'，沿斜面向下（与f大小相等，方向相反）
第二步：加速度设定与牛顿第二定律方程
设：
- 大斜面M的加速度为
A（水平向右，正方向） - 小物体m相对M的加速度为
a'（沿斜面向下，正方向） - 小物体m相对地面的加速度分量：
- 水平分量：
a_x = a'cosα - A - 竖直分量：
a_y = -a'sinα（向下为负方向）
- 水平分量：
对小物体m列方程：
- 水平方向：支持力的水平分量减去摩擦力的水平分量，等于m的水平加速度乘以质量：
Nsinα - fcosα = m(a'cosα - A) - 竖直方向：支持力的竖直分量加摩擦力的竖直分量减去重力，等于m的竖直加速度乘以质量：
Ncosα + fsinα - mg = -ma'sinα
整理后：mg = Ncosα + fsinα + ma'sinα - 摩擦力公式：
f = μN
对大斜面M列方程：
M仅在水平方向有加速度，竖直方向合力为0。水平方向上，小物体压力的水平分量减去摩擦力的水平分量，等于M的加速度乘以质量：Nsinα - fcosα = MA
第三步：联立方程化简求解
把f=μN代入所有方程，先联立m和M的水平方程：
从m的水平方程：N(sinα - μcosα) = m(a'cosα - A)
从M的水平方程：N(sinα - μcosα) = MA
两者左边相等，因此：m(a'cosα - A) = MA
整理得：a' = \frac{A(M + m)}{mcosα} --- (1)
接下来从M的水平方程解出N = \frac{MA}{sinα - μcosα}，代入m的竖直方程：mg = \frac{MA}{sinα - μcosα}(cosα + μsinα) + m \cdot \frac{A(M + m)}{mcosα} \cdot sinα
化简右边，提取公因子A：mg = A \left( \frac{M(cosα + μsinα)}{sinα - μcosα} + (M + m)tanα \right)
第四步：代入数值计算
代入已知数值（g=9.8m/s²）：
sinα - μcosα = 0.7071×(1-0.2) ≈ 0.5657cosα + μsinα = 0.7071×(1+0.2) ≈ 0.8485\frac{M(cosα + μsinα)}{sinα - μcosα} = \frac{8×0.8485}{0.5657} ≈ 12(M + m)tanα = (8+5)×1 = 13
代入后：5×9.8 = A×(12+13)49 = 25A
解得：A = \frac{49}{25} = 1.96 ≈ 2m/s²
刚好和题目给出的正确答案一致！这里的A就是大斜面M的加速度绝对值，看来题目中的“其加速度”指的是大物体的加速度~
内容的提问来源于stack exchange，提问作者C. Cretan
