当然有完全不用坐标或微积分的纯欧氏几何证法，咱们从已知条件一步步推：

先明确已知条件 #

• 等腰△ABC，AB=AC，D是BC中点 → AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
• BC=AD，设BD=DC=m，则BC=2m，AD=2m
• DE⊥AB于E，F是DE中点

核心推导步骤 #

1. 计算AB、AE、BE的长度
   在Rt△ABD中，由勾股定理得：
   AB=√(AD²+BD²)=√((2m)²+m²)=√5 m
   又因为△ADE∽△ABD（公共角∠DAE，且∠AED=∠ADB=90°），因此：
   AD/AB = AE/AD → AE=AD²/AB=(4m²)/√5 m=4m/√5
   所以BE=AB-AE=√5 m - 4m/√5 = m/√5

2. 求∠EAF的正切值
   同样由△ADE∽△ABD，可得：
   DE/BD = AD/AB → DE=(AD·BD)/AB=(2m·m)/√5 m=2m/√5
   因为F是DE中点，所以FE=DE/2=m/√5
   在Rt△AEF中，tan∠EAF=FE/AE=(m/√5)/(4m/√5)=1/4

3. 求∠CEA的正切值
   过C作CH⊥AB的延长线于H（由BE<BH可知H在AB延长线上）：
   利用△ABC的面积两种表示方法：
   面积=1/2·BC·AD=1/2·2m·2m=2m²，同时面积=1/2·AB·CH → CH=(2×2m²)/√5 m=4m/√5
   在Rt△BCH中，由勾股定理得BH=√(BC²-CH²)=√((2m)²-(4m/√5)²)=2m/√5
   因为BE=m/√5，所以EH=BH-BE=2m/√5 - m/√5=m/√5
   在Rt△CHE中，tan∠CEH=CH/EH=(4m/√5)/(m/√5)=4
   这里∠CEH就是∠CEA（E在AB段，H在AB延长线，两角为同一个角）

4. 证明AF⊥CE
   因为tan∠EAF=1/4，tan∠CEA=4，两者互为倒数，且均为锐角，所以∠EAF + ∠CEA=90°
   设AF与CE交于点K，在△AEK中，∠EAF + ∠CEA + ∠AKE=180°，代入得90°+∠AKE=180°，因此∠AKE=90°，即AF⊥CE

这样就完成了纯几何证明，完全没用到坐标或微积分~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pet123