问题1：5种标准四格骨牌能否完美嵌入4×5规格的矩形？ #

答案是可以。

从基础条件来看：4×5矩形总共有20个格子，刚好等于5种标准四格骨牌（每种4格）的总格子数，数量上完全匹配。再用棋盘格染色验证逻辑：4×5的棋盘格会有10个黑格、10个白格，而每种标准四格骨牌无论怎么旋转摆放，覆盖的黑格和白格数量都是2:2，5种加起来正好是10黑10白，完全契合矩形的染色分布要求。

实际也存在成熟的拼接方案，比如：将I型骨牌横向或纵向放在矩形的某条边缘，O型骨牌占据一个2×2的角落区域，再调整T型、L型、S/Z型的旋转方向，就能严丝合缝地填满剩余空间，最终完美嵌入4×5矩形。

问题2：5个可旋转的彩色四格骨牌（各用一次）能否完美拼接成一个矩形？ #

答案是不能，我们可以通过扩展的棋盘格着色法来证明：

我们把矩形的每个格子按「(行号 mod 2, 列号 mod 2)」分成四种颜色：(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)。统计每种四格骨牌覆盖这四种颜色的数量：

• I型（直线骨牌）：无论横向还是纵向摆放，只会覆盖两种颜色，每种颜色各2个；
• O型（2×2方块）：刚好覆盖四种颜色各1个；
• T型：会覆盖三种颜色，数量分别为2、1、1（剩余一种颜色覆盖数为0）；
• L型：和T型类似，覆盖三种颜色，数量为2、1、1；
• S/Z型：和O型一致，覆盖四种颜色各1个。

把5种骨牌的覆盖数相加，四种颜色的总覆盖数会呈现不对称的分布（比如6、6、5、3，具体数值会因摆放方向略有变化，但核心是无法形成矩形所需的对称数量）。

而任何面积为20的矩形（可能的规格：4×5、5×4、2×10、10×2），四种颜色的数量必然是成对相等的：

• 4×5矩形：(0,0)=6、(0,1)=4、(1,0)=6、(1,1)=4；
• 2×10矩形：四种颜色各5个。

显然，骨牌的总覆盖数和矩形的颜色分布无法匹配，这就证明了无法用这5个彩色四格骨牌拼接成任何矩形。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user535099