1. 高斯定律微分形式中的电荷密度有什么含义？ #

咱们简单说，$\rho$（电荷密度）在$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$这个微分形式里，就是空间某一点处，单位体积内包含的电荷量。它是个“局域量”——只和你盯着的那个无限小的点附近的电荷情况有关，和高斯定律积分形式里考虑的“整个闭合曲面内总电荷”完全不是一个维度的概念。

举个直观的例子：如果某点$\rho>0$，说明这个点周围的无限小体积里有正电荷，电场线就从这里“冒出来”；如果$\rho<0$，电场线会在这个点“收进去”；要是$\rho=0$，那电场线只是从这个点穿过去，既不产生也不消失。

2. 从已知电场反推均匀带电球体的电荷分布 #

先明确背景：我们有个总电荷为$Q$、半径为$R$的均匀带电球体，已知在$r=R/2$（也就是球体内部）的电场是$\mathbf{E} = \frac{kQ}{2R^2}\hat{r}$（这里$k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$），现在要用高斯定律微分形式反推电荷分布。

首先得提一句，你给的这个电场是$r=R/2$处的具体值，而球体内部的通式其实是$\mathbf{E} = \frac{kQ r}{R^3}\hat{r}$（代入$r=R/2$就得到你给的式子，没错）。我们用这个通式来计算散度才对。

对于球对称的电场$\mathbf{E} = E_r(r)\hat{r}$，球坐标系下的散度公式是：
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{r^{2}\frac{d}{dr}(r}2 E_r)$$

把$E_r(r)=\frac{kQ r}{R^3}$代入计算：
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{r^{2}\frac{d}{dr}\left(r}2 \cdot \frac{kQ r}{R^3}\right) = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{kQ r^3}{R3}\right) = \frac{1}{r^2} \cdot \frac{3kQ r^2}{R3} = \frac{3kQ}{R^3}$$

把$k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$代入，就得到：
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{3Q}{4\pi\epsilon_0 R^3}$$

根据高斯定律微分形式$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$，两边乘$\epsilon_0$就能得到$\rho = \frac{3Q}{4\pi R^3}$——这正好是均匀带电球体的体电荷密度（因为球体体积是$\frac{4}{3}\pi R^3$，总电荷$Q=\rho V$，算出来的$\rho$完全吻合）。

你提到的计算结果$\frac{\delta^{3(r)Q}{2\epsilon_0}$其实是点电荷电场的散度结果，和均匀带电球体的情况不匹配哦。点电荷的电场散度才会包含狄拉克δ函数$\delta}3(\mathbf{r})$，而均匀带电球体内部的散度是个常数，对应均匀分布的体电荷，外部（$r>R$）的电场散度为0，因为外部没有电荷。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ajay Sakthivasan