Hey there! 你提到的这个积分确实有点 tricky——它没法用咱们熟悉的初等函数（多项式、指数、对数、三角函数这类）来表示，得用到超几何函数或者椭圆积分这类特殊函数。你之前尝试的几种换元思路其实都是常规操作，但这个积分的被积函数结构决定了初等换元没法把它拆成可积的初等形式，所以没简化是完全正常的。

下面给你两种常见的求解表达方法：

方法一：用高斯超几何函数表示 #

我们可以通过换元将积分转化为超几何函数的标准积分形式：

1. 令 ( u = -x^3 )，则 ( x = (-u)^{1/3} )，对x求导可得：
   [
   dx = \frac{1}{3}u^{-2/3}du
   ]
2. 将其代入原积分，化简后得到：
   [
   \int \frac{dx}{\sqrt[3]{1+x^3}} = \frac{1}{3} \int u^{-2/3}(1 - u)^{-1/3} du
   ]
3. 这个积分刚好对应高斯超几何函数的积分定义（关联Beta函数）：
   [
   \int_0^u t^{a-1}(1-t){b-1}dt = u^a ,_2F_1(a,1-b;a+1;u)
   ]
   这里取 ( a = \frac{1}{3} )，( b = \frac{2}{3} )，代入后再把 ( u = -x^3 ) 回代，最终得到：
   [
   \frac{x}{3} ,_2F_1\left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}; \frac{4}{3}; -x^3 \right) + C
   ]
   其中 ( ,_2F_1(a,b;c;z) ) 是高斯超几何函数，它的幂级数展开形式为：
   [
   ,2F_1(a,b;c;z) = \sum{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n n!} z^n
   ]
   这里 ( (a)_n ) 是上升阶乘（Pochhammer符号），定义为 ( (a)_n = a(a+1)(a+2)\dots(a+n-1) )。

方法二：用椭圆积分表示 #

这个积分也可以转化为第一类椭圆积分的形式，步骤如下：

1. 令 ( t = \sqrt[3]{\frac{x}{1+x^3}} )，解出 ( x^3 = \frac{t^3}{1 - t^3} )，对两边求导并整理可得：
   [
   dx = \frac{t^2}{(1 - t³⁾{4/3}} dt
   ]
2. 代入原积分并化简，最终可以得到：
   [
   \int \frac{dx}{\sqrt[3]{1+x^3}} = \int \frac{dt}{1 - t^3}
   ]
   而 ( \int \frac{dt}{1 - t^3} ) 可以分解为部分分式后，结合第一类Legendre椭圆积分的形式完成表达，属于椭圆积分的变种形式。

关键说明 #

这类积分属于**“非初等可积”**的范畴，也就是说不存在初等函数作为它的原函数，必须借助特殊函数来表达。所以你之前尝试的换元没法简化是完全合理的——不是方法不对，而是这个积分本身就不能用常规初等函数写出结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者M.Mass